第一章13 第1课时Word下载.docx

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S＝πr（r＋l）

圆台

上底面面积：

S上底＝πr′2

下底面面积：

S下底＝πr2

S侧＝π（r′＋r）l

S＝π（r′2＋r2＋r′l＋rl）

[情境导学]　已知ABB1A1是圆柱的轴截面，AA1＝a，AB＝b，P是BB1的中点；

一小虫沿圆柱的侧面从A1爬到P，如何求小虫爬过的最短路程？

要解决这个问题需要将圆柱的侧面展开，本节我们将借助几何体的侧面展开图来研究几何体的表面积．

探究点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积

思考1　在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗？

答　正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是围成它们的各个面面积的和，也就是展开图的面积．如下图所示．

思考2　几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，棱柱，棱锥，棱台的侧面展开图是怎样的？

如何求棱柱，棱锥，棱台的表面积？

答　如下图所示，只需求出各个展开图中的各部分平面图形的面积，然后求和即可．

例1　已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC，求它的表面积．

解　先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.

因为BC＝a，SD＝＝＝a.

所以S△SBC＝BC·

SD

＝a×

a＝a2.

因此，四面体S—ABC的表面积S＝4×

a2＝a2.

反思与感悟　在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．

跟踪训练1　已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S—ABCD，求它的表面积．

解　∵四棱锥S—ABCD的各棱长均为5，各侧面都是全等的正三角形．

设E为AB的中点，则SE⊥AB.

∴S侧＝4S△SAB＝4×

×

AB×

SE＝2×

5×

＝25.

S表面积＝S侧＋S底＝25＋25＝25（＋1）．

例2已知正四棱台（上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心）上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．

解　如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，

O、O1分别是下、上底面正方形的中心，

则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.

连接OE、O1E1，

则OE＝AB＝×

12＝6，

O1E1＝A1B1＝3.

过E1作E1H⊥OE，垂足为H，

则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，

HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.

在Rt△E1HE中，

E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×

17，

所以E1E＝3.

所以S侧＝4×

（B1C1＋BC）×

E1E

＝2×

（12＋6）×

3＝108.

反思与感悟　解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：

一是把基本量转化到直角梯形中去解决；

二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决．

跟踪训练2　在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？

解　如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P.

取B1C1、BC的中点E1、E，则EE1的延长线必过P点（以后可以证明）．O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，且有O1E1＝A1B1＝3，OE＝AB＝6，

则有＝＝，

即＝.所以PO1＝O1O＝12.

在Rt△PO1E1中，

PE＝PO＋O1E＝122＋32＝32×

PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝62×

所以E1E＝PE－PE1＝6－3＝3.

（BC＋B1C1）×

探究点二　圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法

思考1　如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？

答　圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则有：

S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr（r＋l）．

思考2　如何根据圆锥的展开图，求圆锥的表面积？

答　圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，则侧面展开图扇形面积为×

2πrl＝πrl，

∴S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr（r＋l）．

思考3　如何根据圆台的展开图，求圆台的表面积？

答　圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，如右图，

＝，解得：

x＝l.

S扇环＝S大扇形－S小扇形

＝（x＋l）×

2πR－x·

2πr

＝π[（R－r）x＋Rl]＝π（r＋R）l，

所以，S圆台侧＝π（r＋R）l，S圆台表＝π（r2＋rl＋Rl＋R2）．

思考4　圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？

答　如下图所示：

S柱＝2πr（r＋l），S台＝π（r′2＋r2＋r′l＋rl），

S锥＝πr（r＋l）．

例3　一圆台形花盆，盆口直径20cm，盆底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盆壁长15cm.为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆？

（π取3.14，结果精确到1毫升）

解　如图，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S＝π×

[（）2＋×

15＋×

15]－π×

（）2≈1000（cm2）＝0.1（m2）．

涂100个花盆需油漆0.1×

100×

100＝1000（毫升）．

答　涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆．

反思与感悟　解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长．

跟踪训练3　圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°

，那么圆台的表面积是多少？

（结果中保留π）

解　如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°

，

故c＝π·

SA＝2π×

10，

所以SA＝20，

同理可得SB＝40，

所以AB＝SB－SA＝20，

∴S表面积＝S侧＋S上＋S下

＝π（r1＋r2）·

AB＋πr＋πr

＝π（10＋20）×

20＋π×

102＋π×

202＝1100π（cm2）．

故圆台的表面积为1100πcm2.

1．一个几何体的三视图（单位长度：

cm）如图所示，则此几何体的表面积是（　　）

A．（80＋16）cm2B．84cm2

C．（96＋16）cm2D．96cm2

答案　A

解析　该几何体是四棱锥与正方体的组合，S表面积＝42×

5＋4＝80＋16.

2.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（　　）

A.πB．π＋

C.π＋D.π＋

答案　C

解析　由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为，∴表面积S＝×

2×

＋×

π×

12＋×

1×

2＝＋.

3．一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为________．

答案　6π

解析　先求出圆柱的底面半径，再应用圆柱的表面积计算公式求解．

设圆柱的底面半径为r，高为h.由2πr＝2π得r＝1，

∴S圆柱表＝2πr2＋2πrh＝2π＋4π＝6π.

4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．

答案　2

解析　设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.则πl2＋πr2＝3π，πl＝2πr，∴r＝1，即圆锥的底面直径为2.

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．

答案　38

解析　将三视图还原为直观图后求解．

根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，

所以S＝2×

（4＋3＋12）＋2π－2π＝38.

[呈重点、现规律]

1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；

棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；

棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积．

2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．

3．S圆柱表＝2πr（r＋l）；

S圆锥表＝πr（r＋l）；

S圆台表＝π（r2＋rl＋Rl＋R2）．

一、基础过关

1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为（　　）

A．8B.C.D.

答案　B

解析　易知2πr＝4，则2r＝，

所以轴截面面积＝×

2＝.

2.如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

解析　还原正方体，如图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC＝60°

.

3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于（　　）

A．6B．6πC．3πD．6π

解析　∵圆台的母线长为＝，

∴S圆台侧＝π（1＋2）·

＝3π.

4.三视图如图所示的几何体的表面积是（　　）

A．7＋B.＋

C．7＋D.

解析　图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，，表面积S表面＝2S底＋S侧面＝×

（1＋2）×

2＋（1＋1＋2＋）×

1＝7＋.

5．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是________．

答案　60°

解析　设母线为l，底面半径为r，则πl＝2πr.

∴＝，∴母线与高的夹角为30°

∴圆锥的顶角为60°

6．一简单组合体的三视图及尺寸（单位：

cm）如下图所示，则该组合体的表面积为________cm2.

答案　12800

解析　该组合体的表面积为2S正视图＋2S侧视图＋2S俯视图＝12800（cm2）．

7.长方体ABCD—A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，求其路程的最小值．

解　把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示：

利用勾股定理可得AC1的长分别为、、.

由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为.

二、能力提升

8．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的表面积为A，则A∶B等于（　　）

A．11∶8B．3∶8C．8∶3D．13∶8

解析　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，

则2πr＝πl，

则l＝r，

所以B＝（r）2×

＝πr2，

A＝πr2＋πr2＝πr2，

得A∶B＝11∶8.

9．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（　　）

A．372B．360C．292D．280

解析　由三视图可知该几何体是由