导数复习知识点总结Word格式.docx

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⑧.

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：

两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数的和（或差），

即：

（

法则2：

两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

法则3：

两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：

‘=（v0）。

形如y=f的函数称为复合函数。

复合函数求导步骤：

分解——求导——回代。

法则：

y＇|=y＇|·

u＇|

2010高考数学复习详细资料——导数应用

知识清单

单调区间：

一般地，设函数在某个区间可导，

如果，则为增函数；

如果，则为减函数；

如果在某区间内恒有，则为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；

曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；

曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

3．最值：

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。

①求函数ƒ在（a，b）内的极值；

②求函数ƒ在区间端点的值ƒ（a）、ƒ（b）；

③将函数ƒ的各极值与ƒ（a）、ƒ（b）比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

4．定积分

（1）概念：

设函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<

x1<

…<

xi－1<

xi<

…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝（ξi）△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f（x）在区间[a，b]上的定积分，记作：

，即＝（ξi）△x。

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式。

基本的积分公式：

＝C；

＝＋C（m∈Q，m≠－1）；

dx＝ln＋C；

＝＋C；

＝sinx＋C；

＝－cosx＋C（表中C均为常数）。

（2）定积分的性质

①（k为常数）；

②；

③（其中a＜c＜b。

（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x＝a，x＝b（a<

b），x轴及一条曲线y＝f（x）（f（x）≥0）围成的曲边梯的面积。

如果图形由曲线y1＝f1（x），y2＝f2（x）（不妨设f1（x）≥f2（x）≥0），及直线x＝a，x＝b（a<

b）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。

课前预习

1．求下列函数导数

（1）

（2）（3）

（4）y=（5）y＝

2．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）

A．B．C．D．

3．过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（）

（A）（B）（C）（D）

4．半径为r的圆的面积S（r）＝r2,周长C（r）=2r，若将r看作（0，＋∞）上的变量，则（r2）`＝2r，式可以用语言叙述为：

圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R的球，若将R看作（0，＋∞）上的变量，请你写出类似于

的式子：

；

式可以用语言叙述为：

。

5．曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是。

6．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）≥0，则必有（）

A．f（0）＋f

（2）<

2f

（1）B.f（0）＋f

（2）≤2f

（1）

C．f（0）＋f

（2）≥2f

（1）D.f（0）＋f

（2）>

2f

（1）

7．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．已知函数。

（Ⅰ）设，讨论的单调性；

（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。

9．在区间上的最大值是（）

（A）－2（B）0（C）2（D）4

10．设函数f（x）=

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）讨论f（x）的极值。

11．设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求

（）求点的坐标；

（）求动点的轨迹方程.

12．请您设计一个帐篷。

它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。

试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？

13．计算下列定积分的值

（1）

（2）；

（3）；

（4）；

14．

（1）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功。

（2）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．

典型例题

一导数的概念与运算

EG：

如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为（）

A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s

变式：

定义在D上的函数，如果满足：

，常数，

都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

【文】

（1）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

【理】

（2）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

已知的值是（）

A.B.2C.D.－2

变式1：

（）

A．－１Ｂ．－2C．－3D．1

变式2：

（）

A．B．C．D．

根据所给的函数图像比较

函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）

A.y

B.

C.

D.O1234x

求所给函数的导数：

。

设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g（3）=0.则不等式f（x）g（x）＜0的解集是

A．（－3,0）∪（3,+∞）B．（－3,0）∪（0,3）

C．（－∞,－3）∪（3,+∞）D．（－∞,－3）∪（0,3）

已知函数.

（1）求这个函数的导数；

（2）求这个函数在点处的切线的方程.

已知函数.

（1）求这个函数在点处的切线的方程；

（2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.

函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝（）

A.B.C.D.1

判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

函数的一个单调递增区间是

A.B.C.D.

已知函数

（1）若函数的单调递减区间是（-3，1），则的是.

（2）若函数在上是单调增函数，则的取值范围是.

变式3：

设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.

（Ⅰ）用表示a，b，c；

（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.

求函数的极值.

求函数在上的最大值与最小值..

函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）的值.

若函数，当时，函数极值，

（1）求函数的解析式；

（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．

变式4：

已知函数，对x∈〔－1，2〕，不等式f（x）<

c2恒成立，求c的取值范围。

利用函数的单调性，证明：

证明：

，

（理科）设函数f（x）=（1+x）2－ln（1+x）2.若关于x的方程f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

函数若恒成立,求实数的取值范围

变式1:

设函数若恒成立，求实数的取值范围.

变式2:

如图,曲线段OMB是函数的图象,轴于点A,曲线段OMB上一点M处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q，

（1）若t已知,求切线PQ的方程

（2）求的面积的最大值

变式3:

用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？

最大的容积是多少？

变式4:

某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？

计算下列定积分：

（理科定积分、微积分）

计算：

；

（1）；

（2）

求将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体的体积.

在曲线上某一点A处作一切线使之与曲线以及轴所围的面积为，试求：

（1）切点A的坐标；

（2）在切点A的切线方程.

实战训练

1.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如右图所示，则导函数y=f'

（x）的图象可能为（　）

2.已知曲线S:

y=3x－x3及点,则过点P可向S引切线的条数为（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

3.C设S上的切点求导数得斜率，过点P可求得:

.

4.函数在下面哪个区间内是增函数（）.

5.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于（）

（A）6（B）0（C）5（D）1

6.函数f（x）＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）

（A）1，－1　（B）3，-17（C）1，－17（D）9，－19

7.设l1为曲线y1=sinx在点（0，0）处的切线，l2为曲线y2=cosx在点（,0）处的切线，则l1与l2的夹角为___________.

8.设函数f（x）=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g（x）=x3+ax2+bx的单调递减区间为.

9．（07湖北）已知函数的图象在点处的切线方程是，则

10．（07湖南）函数在区间上的最小值是

11．（07浙江）曲线在点处的切线方程是9．.已知函数

（Ⅰ）若函数图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：

（Ⅱ）若，函数图像上任意一点处的切线的斜率为，试讨论的充要条件。

12．（07安徽）设函数f（x）=-cos2x-4