《常微分方程》答案习题4Word文件下载.docx

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另外也是方程的解。

6．

解：

得到

另外也是方程的解。

8.

令

则：

故

10．

令

而故两边积分得到

因此原方程的解为，。

12.

令

则

故方程的解为

14．

那么

求得：

或可写为

16．

令则

即方程的解为

18．

将方程变形后得

同除以得：

令则

即原方程的解为

19.X（

方程可化为2y（

27.

令，，则

，，

，

两边积分得

即为方程的通解。

另外，，即也是方程的解。

28.

两边同除以，方程可化为：

令，则

即，

即

为方程的解。

29.

令，则，

，

那么

即为方程的解。

30.

方程可化为

31.

两边同除以，得

令，，则

将代入得，

故

32.

两边同加上，得（*）

再由，可知

（**）

将（*）/（**）得

整理得

另外，也是方程的解。

33.求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。

设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为：

由题意得

也即

两边同除以，得

34.摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至米/秒。

确定发动机停止2分钟后艇的速度。

假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。

，又，由此

其中，解之得

又时，；

时，。

故得，

从而方程可化为

当时，有米/秒

即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。

35.一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。

试求此质点的速度与时间的关系。

由物理知识得：

根据题意：

故：

即：

（*）式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有

又当t=0时，V=0，故c=

因此，此质点的速度与时间的关系为：

36.解下列的黎卡提方程

（1）

原方程可转化为：

观察得到它的一个特解为：

，设它的任意一个解为，

代入（*）式得到：

由（**）-（*）得：

变量分离得：

两边同时积分：

故原方程的解为

（2）

原方程可化为：

由观察得，它的一个特解为，设它的任意一个解为，故

变量分离再两边同时积分得：

故原方程的解为

（3）

由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，故

，该式是一个的伯努利方程

两边同除以得到：

，令，

，根据一阶非齐线性方程的求解公式得：

因此：

原方程的解为：

（4）

由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，于是

，这是的伯努利方程

（5）

由观察得，它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是

，即.

（6）

由观察得到它的一个特解为，设它的任一个解为，于是

从而：

故原方程的解为：

（7）

由观察得到它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是

，这是n=2的佰努利方程，

两边同除以得：