人教版最新高考数学总复习之最值问题专题Word版文档格式.docx

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数形结合成或转化为一元函数.

3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：

直接法，目标函数法（线性规划，曲函数的最值）

【重点难点热点】

问题1：

函数的最值问题

函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数（特别是二次函数）的最值问题.求函数最值的方法有：

配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等.

例1：

（02年全国理1）设a为实数，，

（1）讨论的奇偶性；

（2）求的最小值．

思路分析：

（1）考察与是否具有相等或相反的关系；

或从特殊情形去估计，再加以验证．

（2）二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．

（1）解法一：

（利用定义）＋，

若

都不成立，故不是奇函数；

若为偶函数，则，即＋此等式对恒成立，只能是．

故时，为偶数；

时，既不是奇函数也不是偶函数．

解法二：

（从特殊考虑）又，故不可能是奇函数．

若，则，为偶函数；

若，则，知，故在时，既不是奇函数又不是偶函数．

（2）当时，，由二次函数图象及其性质知：

若，函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为；

若，函数在上的最小值为，且．

当时，函数．

若，函数在上的最小值为，且；

若，函数在上单调递增，从而函数函数在上的最小值为．

综上所述，当时，函数的最小值是；

当时，函数的最小值为；

当时，函数的最小值是．

点评：

1．研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及与是否具有相等或相反的关系；

或从特殊情形去估计，再加以验证．

2．二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像．当对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．

3．本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论．

演变1：

（05年上海）已知函数f（x）=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,（、分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量）,函数g（x）=x2－x－6．

（1）求k、b的值;

（2）当x满足f（x）>

g（x）时,求函数的最小值．

　点拨与提示：

由f（x）>

g（x）得x的范围，＝＝x+2+－5，用不等式的知识求其最小值．

演变2：

（05年北京卷）已知函数f（x）=－x3＋3x2＋9x＋a．

（I）求f（x）的单调递减区间；

（）若f（x）在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

点拨与提示：

本题用导数的知识求解．

问题2：

三角函数、数列、解析几何中的最值问题

将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解．

例2：

（05年上海）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，．

（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值．

　思路分析：

将d用点M的坐标表示出来，

，然后求其最小值．

解：

（1）由已知可得点A（－6,0）,F（0,4）

设点P（,）,则={+6,},={－4,},由已知可得

，则2+9－18=0,解得　=或=－6．

由于>

0,只能=,于是=．∴点P的坐标是（,）

（2）直线AP的方程是－+6=0．

设点M（,0）,则M到直线AP的距离是．

于是=,又－6≤≤6,解得=2．

椭圆上的点（,）到点M的距离有

由于－6≤≤6,∴当=时,d取得最小值

演变3：

（05年辽宁）如图，在直径为１的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中．

（Ⅰ）将十字形的面积表示为的函数；

（Ⅱ）为何值时，十字形的面积最大？

最大面积是多少？

将十字型面积S用变量表示出来，转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S的最大值．

问题3：

最值的实际应用

在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．

例3：

（06年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？

将帐蓬的体积用x表示（即建立目标函数），然后求其最大值．

设OO1为，则

由题设可得正六棱锥底面边长为：

，（单位：

）

故底面正六边形的面积为：

=，（单位：

帐篷的体积为：

（单位：

求导得．

令，解得（不合题意，舍去），，

当时，，为增函数；

当时，，为减函数．

∴当时，最大．

答：

当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为．

本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力

演变4．（05年湖南）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：

）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择．方案甲：

一次清洗；

方案乙：

分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为．设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是．用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度．

（1）分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小．

（2）若采用方案乙，当为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？

并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响．

设初次与第二次清洗的用水量分别为与，，

于是+，利用均值不等式求最值．

问题4：

恒成立问题

不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f（x）＞m恒成立，即＞m；

f（x）<

m恒成立，即<

m．

例4、已知函数

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围．

f（x）＞0恒成立，即＞0．

（1）当时，．

　　，　　．

　　在区间上为增函数．

　　在区间上的最小值为．

（也可用定义证明在上是减函数）

（2）在区间上恒成立；

　　在区间上恒成立；

　　函数在区间上的最小值为3

　　　　即　　

1．

（1）中，这类函数，若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，即用均值不等式来求最值时，必须注意：

一正、二定、三相等，缺一不可．

2．求函数的最小值的三种通法：

利均值不等式，函数单调性，二次函数的配方法在本题中都得到了体现．

演变5：

已知函数，其中0<

a<

4．

（Ⅰ）将的图像向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；

（Ⅱ）函数与函数的图像关于直线对称，求函数的解析式；

（Ⅲ）设，已知的最小值是，且，求实数的取值范围．

（Ⅲ）的实质就是恒成立，利用均值不等式或转化为二次函数知识求它的最小值．

问题五：

参数的取值范围问题

参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力．在历年高考中占有较稳定的比重．解决这一类问题，常用的思想方法有：

函数思想、数形结合等．

例5．设直线过点P（0，3）且和椭圆顺次交于A、B两点，求的取值范围．

=．要求的取值范围，一是构造所求变量关于某个参数（自然的想到“直线AB的斜率k”）的函数关系式（或方程），通过求函数的值域来达到目的．二是构造关于所求量的一个不等关系，由判别式非负可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来．韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称式．问题找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称式：

．由此出发，可得到下面的两种解法．

解法1:

当直线垂直于x轴时，可求得;

当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：

，代入椭圆方程，消去得

解之得

由椭圆关于y轴对称，且点P在y轴上，所以只需考虑的情形．

当时，，，

所以===．

由,解得，

所以，即．

解法2:

设直线的方程为：

，代入椭圆方程，消去得

（*）

则，

令，则，

在（*）中，由判别式可得，从而有，

所以，解得．

结合得．

综上，．

范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等．本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法．

演变6：

已知函数，（Ⅰ）求的单调区间和值域；

（Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围

利用导数知识求解．

专题小结

1．函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数（特别是二次函数）的最值问题．求函数最值的方法有：

配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等．

2．三角函数、数列、解析几何中的最值问题，往往将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法或基本不等式法求解．

3．在数学应用性问题中有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．

4．不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f（x）＞m恒成立，即＞m；

5．参数范围问题内容涉及代数和几何的多个方面，钥解题的关键不等关系的建立，其途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等．解决这一类问题，常用的思想方法有：

【临阵磨枪】

一．选择题

1．抛物线上的点到直线距离的最小值是（）

ABCD

2．（05福建卷）设的最小值是（）

A　B　C　－3D　

3．（06年江西）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（　）

A　6　　B　7　　　C　8　　　D　9

4．（06年福建）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）

　A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D　

5．当时，函数的最小值为（　）

A　2　B　　C　4　D　

6．（05天津卷）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（　）

A　B　C　D　

7.（06年江西）若不等式x2＋ax＋10对于一切x（0，）成立，则a的取值范围是（）

A　0　　　　B　–2　　　　C　-　　　　D　-3

8.（05年重庆）若x，y是正数，则的最小值是（）

A　3B　C　4D　

二．填充题

9.已知定点A、B且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是_______．

10.（05上海）若满足条件，则的最大值是__________.

11.（06年江西卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB＝90，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是_____