立体几何和三角函数大题训练Word格式文档下载.docx

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5．已知四棱锥，底面是、边长为的菱形，又底，且，点分别是棱的中点．

（1）证明：

平面；

（2）证明：

平面平面；

（3）求点到平面的距离．

6．如图，在四棱锥中，平面，.

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求证：

（Ⅲ）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?

说明理由.

7．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

（1）求证：

AB⊥C1F；

（2）求证：

C1F∥平面ABE；

（3）求三棱锥EABC的体积．

8．（本小题满分13分）

如图，⊙O在平面内，AB是⊙O的直径，平面，C为圆周上不同于A、B的任意一点，M，N，Q分别是PA，PC，PB的中点.

（3）求证：

平面.

参考答案

1．

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）由二倍角公式得，结合和解方程即可；

（2）依次计算和的值，代入求解即可.

试题解析：

（1）由，得，

因为，所以，

又，所以，所以.

（2）因为，所以，所以，

于是，

又，所以，

由

（1），所以.

2．（I）（Ⅱ）

（Ⅰ）先利用向量的坐标运算将函数转化为三角函数的形式，再利用三角恒等变形将函数转化为的形式，可求得周期；

（Ⅱ）先由所给函数值，代入求得值，再由余弦定理，结合的值，解方程组可得．

（I）

.

故最小正周期

（Ⅱ），，

C是三角形内角，

∴即：

即：

．

将代入可得：

，解之得：

或4,

，

点睛：

三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两微量平行或垂直的计算．将向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数，解三角形等知识的运用．

3．

（1）单调减区间为，．

（2）对称中心为，.

（1）根据，可得，则=，于是可根据二倍角公式化为正弦型函数求单调区间；

（2）由

（1）知，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，得到，于是可以求对此中心.

（1）

令，得

，

所以的单调减区间为，．

（2）由

（1）知，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，因此，

令，得，

所以函数图象的对称中心为，.

4．

（2）

【解析】本试题主要考查了正弦定理和余弦定理的边角转换的运用。

以及结合三角形的面积公式求解面积的综合试题。

解：

…………………………………2分

………………………………………4分

…………………………………………6分

…………………………………………9分

…………………………………………12分

5．

（1）详见解析

（2）详见解析（3）

【解析】

试题分析：

（1）要证DN∥平面PMB，只要证DN∥MQ；

（2）要证平面PMB⊥平面PAD，只要证MB⊥平面PAD；

（3）利用PD是三棱锥P-AMB的高PD=2，棱锥A-PMB的体积=棱锥P-AMB的体积，利用棱锥的体积公式解之

取中点，连接，因为分别是棱中点，

所以，且，于是，

．

（2），

又因为底面是、边长为的菱形，且为中点，所以，又，

所以．．

（3）因为是中点，所以点与到平面等距离．过点作于，由

（2）由平面平面，所以平面．

故是点到平面的距离．

∴点到平面的距离为．

考点：

平面与平面垂直的判定；

直线与平面平行的判定；

点面距离

6．（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）见解析；

（Ⅲ）存在.理由见解析.

（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；

（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；

（Ⅲ）取PB中点F，连结EF，则，根据线面平行的判定定理证明平面.

（Ⅰ）因为平面，

所以．

又因为，

所以平面．

（Ⅱ）因为，，

因为平面，

所以平面平面．

（Ⅲ）棱PB上存在点F，使得平面．证明如下：

取PB中点F，连结EF，，．

又因为E为的中点，

又因为平面，

【考点】空间线面平行、垂直的判定定理与性质定理；

空间想象能力，推理论证能力

【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：

当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直（必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系），构造（寻找）二面角的平面角或得到点到面的距离等.

7．

（1）详见解析

（2）详见解析（3）

（1）由⊥平面ABC得AB⊥，又AB⊥BC，故AB⊥平面，所以AB⊥C1F；

（2）取AB的中点G，连接EG，FG．则易得四边形是平行四边形，故而∥EG，于是∥平面ABE；

（3）由勾股定理求出AB，代入棱锥的体积公式计算即可

在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.

又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，又因为C1F⊂平面B1BCC1，所以AB⊥C1F。

（2）证明：

取AB的中点G，连接EG，FG.

因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1.

因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.

又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.

（3）因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝.

所以三棱锥EABC的体积V＝S△ABC·

AA1＝×

×

1×

2＝.

棱柱、棱锥、棱台的体积；

直线与平面平行的判定

8．见解析

关于第一问，注意应用线面平行的判定定理，同时注意线面平行的判定定理的条件，注意第二问注意面面平行的判定定理的条件和结论，注意证明过程的书写，第三问注意关于线面垂直的判定定理的条件和结论，注意垂直关系的转化.

证明：

（1）∵分别是的中点，

∴.（1分）

又∵，（2分）

∴平面.（4分）

（2）由

（1）知平面，（5分）

同理可证平面.（6分）

∵平面平面且，（7分）

∴平面平面.（8分）

（3）∵平面，平面，∴.（10分）

又∵AB是⊙O的直径，C为圆周上不同于A、B的任意一点，

∴.（11分）

∵,平面，（12分）

∴平面.（13分）

线面平行的判定，面面平行的判定，线面垂直的判定.