学而思2011年秋季四年级超常123班难题汇总(至第10讲)Word文档格式.doc
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2＝（3+3×
2+3×
2）×
2＝（3×
3+3×
2＝33×
……
第n个：
3n-1×
这个式子孩子不一定理解，但是孩子可以明白：
每个数是其前面数的3倍（第1、2个数除外），前8个数是：
3、6、18、54、162、486、1458、4374。
由公式，第6个数：
35×
2＝486。
由3n-1×
2>
2007，得3n-1>
1003.5，n>
=8（其实，第6个数是486，第7个数就是486×
3＝1458，第8个数1458×
3＝4374>
2007）。
【答案】486，8。
2、【例5】计算：
11×
19+12×
18+13×
17+14×
16
计算：
1×
99+2×
98+3×
97+…+49×
51
【难度级别】★☆☆☆☆
【解题思路】此题没有难度，就是平方差公式的应用，列在这里是想说一下如何找中间数。
2个数的中间数＝2个数的和除以2，或者＝小的数+2个数的间隔的一半（大的数-2个数的间隔的一半）。
例如11和19的中间数是15（（11+19）/2=15,19-11=8,8/2=4,11+4=15,19-4=15）,2和98的中间数是50（（2+98）/2=50,98-2=96,96/2=48,2+48=50,98-48=50）。
计算题中平方差的应用主要是找准中间数。
另外，项数要数对了，例如第2道计算题是49项，而不是50项。
（1）=（152-42）+（152-32）+（152-22）+（152-12）=870
（2）=（502-492）+（502-482）+（502-472）+…+（502-12）
=502×
49-（492+482+472+…+12）
=2500×
49-49×
50×
99÷
6=82075
【答案】870，82075。
3、【学案4】计算：
2×
4+4×
6+6×
8+…+28×
30
【解题思路】此题不难，主要是考一下孩子要先提取公因式，再继续往下做，用到n（n+1）=n2+n和平方和公式：
12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6。
每个乘积的2个数分别提取个2，2×
2＝4，相等于提取4。
＝4×
（1×
2+2×
3+3×
4+…+14×
15）
括号内的，例题讲过，通用的方法是：
n×
（n+1）=n2+n
这样构成了2个数列，一个平方和，一个等差数列（连续自然数）。
（12+1+22+2+32+3+…+142+14）
[（12+22+32+…+142+）+（1+2+3+…+14）]
（14×
15+29÷
6+15×
14÷
2）＝4480
【答案】4480。
4、【学案1】我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数，自然数1111155555是否是两个连续奇数的乘积？
【解题思路】这道题，直接证明不太容易，尝试拆分是可做的。
当然本题考孩子的是找规律。
先说一下不找规律，看看用尝试法如何做，以下分拆过程是大家容易想到的。
1111155555＝1111100000+55555
＝11111×
100000+11111×
5
（100000+5）
100005（因100005比11111大，想办法变小）
20001×
5（先考虑是5的倍数）
6667×
5×
3（再看到20001是3个倍数）
＝33333×
33335
从11111×
3这个式子可以看出来，11111×
3得到3万多，6667×
5也得到3万多，这样两两组合应该可以得到比较接近的两个数（当然也是尝试法）。
找规律，方法如下：
1个1，1个5，15＝3×
2个1，2个5，1155＝33×
35
3个1，3个5，111555＝333×
335
n个1，n个5，11…155…55＝33…3×
33…35（都是n位数）
所以，5个1，5个5，1111155555＝33333×
【答案】可以，1111155555＝33333×
33335。
5、【学案2】47个互不相同的非零自然数之和为2000，问最少有多少个偶数？
【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】此题，孩子可能无从下手。
先将最少多少个偶数，转换为最多多少个奇数。
要想奇数最多，肯定越小越好，所以从1、3、5开始考虑，从1、3、5一直加到多少会接近2000呢？
假设有n个奇数，第n个奇数是2n-1。
1+3+5+…+（2n-1）=（1+2n-1）*n/2=n2
n=44时，n2=1936；
n=45时，n2=2025
所以n最大为44，47－44＝3，偶数最多3个。
给出一例：
2000=1+3+5+…+85+87+（2+4+58），保证3个偶数和为64即可（2000-1936=64）。
【答案】最少有3个偶数。
6、【作业1】计算：
12345678987654321×
9＝_____________
【解题思路】这道题，将9变成（10-1）也不是太复杂，当然本题考孩子的是找规律。
12=1
112=121
1112=12321
11112=1234321
数如果是n个1（1<
=n<
=9），平方就是1…n…1。
所以12345678987654321×
9＝1111111112×
9
＝111111111×
999999999
（1000000000－1）
＝111111111000000000－111111111
＝111111110888888889
【答案】111111110888888889。
7、【作业3】非零自然数的平方按照从小到大的顺序连续排列，是：
149162536……，则从左向右的第16个数字是________。
【解题思路】这道题，难度也就一星，但是如果问第160个数字数多少，难度就有3星了。
因为第16个数字再写几个就出来了，但是如果第160个就写不出来只能计算了。
继续写下去，149162536496481100……，所以第16个数字是1。
计算过程如下：
平方数是1位的，有1、2、3，共3个。
平方数是2位的，有4、5、…、9，共6个。
平方数是3位的，有10、11、12、…、31，共22个。
平方数是4位的，有32、33、34、…、99，共68个。
因为，31的平方＝961（3位最大的）
32的平方＝1024（4位最小的）
99的平方＝9801（4位最大的）
100的平方＝10000（5位最小的）
3+2×
6＝15
6+3×
22＝81
22+4×
68＝272
从这个结果知道，16-15=1，第16个数字是“平方数是3位”的第1个数字，即：
10的平方（100）中1。
160－81＝79，第160个数字是“平方数是4位”的第79个数字，79÷
4＝19……3，即：
第20个“平方数是4位”的左数第3个，32+20-1=51，51的平方＝2601，左数第3个是0。
所以地160个数字是0。
【答案】1。
8、【作业4】对于每个不小于1的整数n，令an表示1+2+3+…+n的个位数字。
例如a1＝1，a2＝3，a4＝0，a5＝5，则a1+a2+a3+…+a2007＝_______。
【解题思路】题目不难，但孩子不一定能做出来。
这种题目一看，肯定是周期问题，一定会循环的，此题的关键是，看能否坚持下去，因为到20才出现周期。
n
1
4
6
7
8
10
11
12
13
14
15
17
18
19
20
an
题目求的是2007个数字的和。
2007÷
20＝100……7
周期内的20个数字的和＝70，周期内前7个数字的和＝24
要求的结果＝100×
70+24＝7024
【答案】7024。
第二讲巧求面积
求面积时需要头脑灵活，但是有些题目方法确实不好想，需要摸索、体会和领悟。
21、【例7】有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？
【解题思路】此题，10×
10＝100平方米，这个不一定容易看到。
周长相差40米，边长相差10米。
如图，（3）为小试验田，则
（1）的面积是100平方米，这是关键点。
40÷
4＝10，10×
10＝100，
220－100＝120，120÷
2＝60，60÷
10＝6，6×
6＝36
【答案】36平方米。
22、【作业8】在图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。
【解题思路】此题问题的关键是如何使用条件“阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米”，如果考虑到填补的方法，问题就变得简单了。
都补上梯形EGCB后，阴影就变成了“平行四边形ABCD”，三角形EFG就变成了“三角形EBC”。
根据差不变性质，这2部分的面积差还是10平方厘米，而三角形EBC是个直角三角形面积可求（二个直角边已知）。
10×
8÷
2＝40，40+10＝50。
【答案】50平方厘米。
E
C
F
A
D
B
23、【作业1】如图所示，从一个直角三角形中剪去一个面积为15cm2的长方形后剩余部分是两个直角三角形。
已知AD长为3cm，求CE长是多少？
G
【解题思路】看到此题，作为家长的我，是真的没做出来，关键是这种巧妙的方法不是很好想的。
如图做辅助线，构成一个大长方形ABCG。
由对称知道，三角形AGC和三角形ABC面积相等，又3和1面积相等，4和2面积相等，所以6和5面积相等，为15cm2。
因为6的面积15cm2，宽＝AD＝3cm，所以，长＝15/3＝5cm，CE＝5cm。
【答案】5cm。
O
24、【例8】如图，ABCD是7×
4的长方形，DEFG是10×
2的长方形，求△BCO与△EFO的面积差。
【
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