高中数学教学中渗透数形结合思想的重要性汇编Word文档格式.docx

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数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

这种上升为艺术层面的、对数形结合的诠释已经完美的无可挑剔。

但是，我还是按捺不住个人对数形结合思想的情愫，数形结合的主旨思想是实现“数”与“形”之间的矛盾统一，使其一一对应，并且相辅相成，相依为命。

数学的强大之处在于，用简单的字符、字母、数字或者式子，把冗长的文字简化的呈现在读者面前，数形结合思想，又实现了直观图形与抽象数字的完美结合，就像画家的画笔与诗人的墨笔和谐相遇。

简而言之，数形结合就是以数解形、以形助数的数学思想方法，通过抽象思维和形象思维的“联手”优化解题途径。

用这种思想来解决数学问题，可以使抽象的问题具体化、复杂的问题简单化，既能发挥代数的优势，又能充分利用图形的直观性，从而实现对问题多元化的探索，同时对思维能力的发展大有稗益。

数形结合的思想是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题，使数学在科学实践和生活实践中的应用显得更加广泛和深入。

二、直觉思维对数形结合的影响

记忆中，大学的心理课程里有“直觉思维”这个概念，我又重新查找了它的完整定义：

所谓直觉思维就是人脑对于突然出现在面前的事物、现象、问题及其关系的一种迅速识别，敏锐而深入的洞察，直接的本质理解和综合的整体判断。

直觉思维贯穿于日常生活学习中,具有迅捷性、直接性、本能意识等特点。

然而，这种思维也可以通过后天努力填补空缺。

由于我们传统意识的影响，生活中的性别比例逐渐有所失调，男孩多于女孩。

然而，男女生的天性差别和优胜劣汰的生存法则，从某个层面决定了不同年龄阶段性别的分布。

比如高中学生中，男女生人数旗鼓相当，但是，优生中男生占绝对优势。

这种现象的形成，很大一部分原因和直觉思维有关。

男生天生整体思维突出，善于辨别和判断，具有较强的空间想象能力，有较强的“形”的感知力。

随着年级的上升，数学知识日渐深化，难度逐步提高，要求学生有较强的数学能力，男生的这种先天优势得以施展。

特别是数形结合思想的学习和运用，男生比女生应用的更灵活一些，这是因为男生的直觉思维远远超过女生。

我们做题的过程是先读题、审题，然后对已知和所求进行汇总，通过直觉思维对解题方法做出初步判断——是否应用数形结合。

因此，直觉思维的活跃度，与数形结合思想方法的掌握度几乎是成正比的。

也正因为这样，高中数学课程中渗透数形结合思想显得尤为重要，让天生占优势的男生把这种思想应用到炉火纯青的地步，不占优势的女生也能通过后天的努力娴熟掌握这种思想，最后在高考中跟时间赛跑取得胜利。

三、高中函数题目数形结合的体现

现行的数学课改教材，在内容上的变化特点明显，适合学生的认知水平和接受能力，适应人类新型知识体系的构建和形成，使数学本身的应用价值、文化价值和智力价值充分彰显出来，确立了它在学校课程中的重要地位。

课程内容强调“学生为主体教师为主导”的数学活动,发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识和能力，为大学数学课程的学习奠定坚实基础。

数形结合在高中数学课程中的应用非常广泛——集合运算与维恩图，解不等式或者求参数，函数及其图像，解析几何，向量等等。

然而，函数是高中数学的基础和核心，也是高考考查的重点，学生对基本函数的掌握已经有十一种之多，每个函数的表达式及其性质都是结合其图像掌握记忆的。

学生们还把这些函数图象与生活中的一些常见身体姿势相联系，并用漫画和文字顺口溜的形式表述出来，便于记忆。

高中教师在数学教学中，首要任务之一就是采用归纳和提炼的方法，引导学生在数学学习过程中，充分挖掘教材中的数形结合思想，使这种深层的数学学习，在平时的应用中循序渐进、由浅入深，寻找到解题思路后，把问题化繁为简、化难为易，达到自觉、自由的熟练运用。

例1.已知函数，若为方程的根，且，则的值（）

（A）恒为正（B）等于零（C）恒为负（D）不小于零

【思路点拨】画出函数和的图像，由图即得。

【精讲精析】判断值的正负，即比较函数

和在处值的正负，由图可得。

【答案】C

【点评】本题考查学生转化化归思想，以及对函数图像的灵活应用，属于基础题目。

例2.若是方程的根，则属于区间（）

（A）　（B）（C）　　（D）

【思路点拨】应用零点存在定理，或者利用数形结合画图分析。

【精讲精析】利用幂指数比较大小，确定区间端点函数值的正负，应用零点存在定理，即函数在区间连续，且满足，则在区间存在零点。

或者画出和的图像即可。

如下图：

【点评】本题考查幂指函数的基本知识和图像的掌握，利用数形结合，既直观又便捷。

属于基础题目。

例3．（2012·

天津高考理科·

Ｔ14）已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是。

【思路点拨】化简函数，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，数形结合求得k的范围。

【精讲精析】根据绝对值的意义，在直角坐标系中作出该函数的图象如图所示。

∵函数的图象直线恒过定点，

且，∴，，，由图象可

【答案】

【点评】本题是基本的绝对值、一次函数、函数与方程知识点的综合应用，是典型的数形结合思想应用求参数范围的题目。

主要考查学生对基础知识的掌握和应用能力，画图过程中必须注意到端点的虚实。

属于中等难度题目。

例4.（2013·

T7）函数的零点个数为　（　　）

A.1B.2C.3D.4

【思路点拨】先利用零点的四种等价说法把题目进行转化，再利用数形结合的方法求解，图象交点的个数即为零点的个数。

【精讲精析】函数的零点即的解,即的解,作出函数和函数的图象,

由图象可知,两函数共有两个交点,故函数有2个零点。

【答案】B

【点评】本题是综合零点的等价转化、指对函数基本图像、图像变换等知识，考查学生综合解决问题的能力。

例5.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程，在区间上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=（　　）

A.-12B.-8C.-4D.4

【思路点拨】根据函数的性质，作出其在上的图象,数形结合求解。

【精讲精析】因为是定义在R上的奇函数，满足，所以，所以函数图象关于直线x=2对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数。

又因为在区间上是增函数，所以在区间上也是增函数，在区间上的大致图象如图所示，那么方程在区间上有四个不同的根x1、x2、x3、x4，不妨设x1<

x2<

x3<

x4，由对称性知即，同理：

，所以。

【点评】本题是函数性质的综合应用，要求学生在熟练掌握性质的基础上，灵活应用性质解决函数问题,属于中等偏难题目。

例6.（2011·

T8）对实数和，定义运算“”：

设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）

A．　　　B．　　

C．　　　D．

【思路点拨】本题需要先利用函数零点的四个转化，把问题转化成图像交点问题，同时还要求学生对新概念的理解正确，然后利用数形结合思想解决。

【精讲精析】∵,

∴函数,

由图可知，当，函数与的图像有两个公

共点，∴c的取值范围是。

【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中等偏难题目。

四、应用数形结合的原则及注意事项

通过数与形相互转化解决数学问题，最终实现数形结合，通常和以下内容有关：

（1）实数与数轴上的点一一对应；

（2）函数与图象一一对应；

（3）曲线与方程一一对应；

（4）以几何元素及其背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；

（5）所给表达式的结构有明显的几何意义。

应用数形结合的思想时，应本着以下三个原则：

等价性原则——图形有局限性，不能完整体现数的严谨性，只是一种浅显、直观的表现，数与形的转化必须是等价的，否则会出差错；

双向性原则——代数抽象探索与几何直观分析务必同步进行，缺少任何一方都如同单脚走路，万分艰难；

简单性原则——明确解题思路后，通过比较代数方法与几何方法，筛选哪种方法更简单，或者数与形两者兼用。

一旦确定运用数形结合思想分析和解决问题，要注意三点：

彻底弄清楚相关概念和运算的几何意义，以及曲线的代数特征，对题目中条件与结论的几何意义和代数意义一同分析；

“形”中觅“数”、“数”上构“形”，建立两者关系，做好数形转化；

恰当设参、合理用参，正确确定参数的取值范围。

几何图形反映数量关系，数量关系决定几何图形是数形结合的本质，进行数形转化的目的是为了把形的生动性和直观性，与数的规范性和严密性相结合，使抽象问题迎刃而解。

五、教学中运用数形结合思想的收获

所谓的“数形结合”，就是数学问题中已知和所求的“桥”，为两者提供内在联系的依据，通过分析题目中的代数意义，揭示其几何的直观意义。

因此，数形结合这一数学方法的有效运用，在高中数学教学中发挥着非常奇妙的作用。

下面就和大家一起分享一下，我的学生在运用此种方法中所得到的惊喜和收获，也许不是最好的方法，但却是相对简便且容易理解的方法。

例.（期中考试T19）已知函数,且在区间上的最大值为0。

（1）求函数的解析式；

（2）判断函数在区间内的零点个数，并加以证明。

【精讲精析】

（1）显然，∴在上恒成立，且能取到等号在上恒成立，且能取到等号∵在上单调递增

∴

（2）方法一：

来源于参考答案

，且函数的图象在上连续不断．

当时，在上单调递减

∵存在唯一使

又∵

∴在上单调递增，在上单调递减

注意到，∴，∴，

∴在上有唯一零点，即函数在内有一个零点。

【点评】导数问题是课改以来高考大题的必考题型，当导数等于零的方程不能求根时，就把导函数看成一个新的函数，继续求导函数的导数，研究原函数的导函数的单调性和函数的正负。

此方法是此类问题的通法，但是学生掌握起来较为困难。

方法二：

来源于我的学生考试过程中做出的答案

由

（1）知,要求在区间上的零点个数，只需求正弦函数与反比例函数图像在区间上的交点个数，如下图。

∴函数在内有一个零点。

方法三：

∵,由得∵∴∴即

下面只需讨论与x图像在区间上，即可知数值的正负和的增减性，如下图

图1-2大学生购买手工艺品可接受价位分布

2、你大部分的零用钱用于何处？

∵时，∴由图知，时，

时，即图像在上单调递增，在上单调递减，又∵，

虽然调查显示我们的创意计划有很大的发展空间，但是各种如“漂亮女生”和“碧芝”等连锁饰品店在不久的将来将对我们的创意小屋会产生很大的威胁。

高中数学教学中，教师不断强化渗透应用数形结合思想方法的意识，才能使学生在学习过程中亲身感受到成功感，真正地成为教学中的主体，最后使教与学达到和谐统一。

学生的良好学习习惯得到了培养，学习品质得到了提升，学习的过程和方法得到了优化，对于学生来说学习才变成有趣的事，这样才能乐在其中。

学习切莫“得意忘形”，