德萨格定理及其应用数学Word文件下载.docx

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新疆师范大学教务处

摘要:

德萨格定理是射影平面上的一个重要定理,它是射影几何的理论基础,也是图形的一个重要射影性质。

它的应用很广泛，许多定理以它为根据。

这里仅用德萨格定理与德萨格逆定理来证明共点和共线问题,体现高等几何观点对初等几何的指导作用,在解决初等几何问题方面具有独特之处。

本论文通过实例说明了上述定理在初等几何中的应用。

关键词:

德萨格定理及逆定理；

三点形；

三线形。

1.前言

射影几何是高等几何中的主要组成部分，而德萨格定理则是射影几何中的基础定理之一，在射影几何中占有不可或缺的地位。

发现德萨格定理的德萨格是17世纪法国著名的数学家，他1591年出生于法国里昂，1661年卒于同地。

曾坐过牢，后来担任过法国军事工程师和建筑工程师。

德萨格定理在射影几何的基础里扮演着一个很重要的角色，而射影几何又是高等几何中的主要组成部分，因此德萨格定理亦是高等几何中的基础命题之一。

德萨格定理的内容从完整的角度讲包括德萨格定理及其逆定理，主要研究的是三点共线或者三线共点的问题。

在初等几何中有许多需要证明《点共线》或《线共点》的问题，这类问题用初等几何方法证明往往比较复杂，但用德萨格定理去证明却很容易。

因此，德萨格定理和逆定理可以被应用到初等几何中的很多方面中去。

并展示了高等几何在初等几何中的一些最根本的应用，全盘否决高等几何在初等几何中的无用之说。

高等几何有助于我们更好地学习理解初等几何。

由此体现了高等几何对初等几何的指导性意义。

下面通过几个具体的实例说明它在初等几何中的应用。

2.关于德萨格定理的基本概念

2.1基本概念

定义2.1平面内不共线的三点与其每两点的连线所组成的图形叫做三点形；

平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性．

三点形与三线性实际上是一种图形（如图2-1）,点叫做顶点,直线叫做边．

图2-1

2.2德萨格定理

我们已经介绍了三点形和三线性．下面我们介绍德萨格定理．

定理2.2（德萨格定理）如果两个三点形对应顶点的连线交于一点,则对应边的交点在一直线上．

证明

（1）

如图1，因为三点共线故存在不全为零的常数使得

同理可得

其中不全为零；

不全为零。

前两式相减得

；

同理可得；

以上三式相加可得。

从而三点共线定理得证。

证明

（2）设有三点形与，对应顶点连线交于

一点O，对应边与的交点为X，与的交点为Y，与的交点为Z，要证X，Y，Z在一直线上。

情况（i）与位于不用的平面与内（图2），因都在五点所定的平面内，所以二直线相交。

交点既在内也在内。

因此点X存在且在与的交线上。

同理，与，与也都相交且交点在与的交线上

因此三点X，Y，Z在一直线上。

情况（ii）与位于同一平面内（图3）。

通过O做不在内的直线P，在P上任意取两点。

由直线位于直线P与所决定的平面内，所以直

线与相交，交点记以。

同理，直线与相交，交点记以。

直线与相交，交点记以。

三点所决定的平面与不同（例如不再内）。

考虑三点形与，二者不在同一平面内。

由于交于同一点O，所以根据情况（i）知与，与，与交于同一直线上的点，即X，，，在一直线上。

因此X在平面内。

但X也在平面内，这说明X在两不同平面与的交线上。

同理，Y，Z也在平面与的绞线上，所以三点X，Y，Z在一直线上。

定理2.3（德萨格定理逆定理）如果两个三点形对应边的交点在一直线上,则对应顶点的连线交于一点．

3．德萨格定理在初等几何中的应用

3.1应用徳萨格定理证明共点问题

例1试证三角形三条中线共点？

证明如图设三角形ABC三条中线AD,BE,CF

（图4）

考察三点形ABC和DEF，由于BC∥EF，CA∥FD，AB∥DE，即三点形ABC和DEF的对应边的交点均为无穷远点从而都在无穷远直线上，故根据徳萨格定理的逆定理知它们对应顶点的连线AD，BE，CF交于一点，即三角形ABC的三条中线共点。

同时，此题是中学几何中有关三角形重心的问题，用初等几何方法不够直观，也较繁杂，但用上述方法却很简便。

例2直线AB与CD交于U，AC与BD交于V；

U，V分别交AD，BC于F，G；

BF交AC于L。

求证：

LG，CF，AU交于一点。

证明如以下图6在三角形AFL与三角形UCG中对应边FL与CG，LA与UG，AF与UC分别交于共线的三点B，V，D。

根据徳萨格定理的逆定理知AU，FC，LG交于点O（如图三线形AFL与三角形UCG对应顶点连线LG，FC，AU共点O

（图5）

3.2应用徳萨格定理证明共线问题

例3证明三角形的垂心,重心,外心三点在一条直线上．

证明已知三角形,依据几何作图作出其垂心,重心,外心,其中分别为中点,下面证明三点共线．在三点形和中,根据几何作图性质可知,,,,即两个三点形和对应边的交点都为无穷远点,从而它们的交点都在无穷远直线上．根据德萨格逆定理,两个三点形和对应顶点的连线交于一点．即三点共线．

（图6）

此题是欧拉定理的证明,其垂心,重心,外心所在的直线为欧拉线．此外,此题证明的构图,别具风格,独具匠心,是综合分析各方面的因素,化冗为简的结果．而且,此题是初等几何中非常重要的三角形“三心”共线问题,利用初等几何的知识证明比较麻烦,此处用德萨格逆定理证明简单而又巧妙．

例4设三角形ABC的三条内角平分线分别交对边于D，E，F；

又BC和EF交于X，CA和FD交于Y，AB和DE交于Z则X，Y，Z三点共线。

证明设三角形ABC的三条内角平分线交于O（即三角形ABC的内心）如图考察三点形ABC和DEF。

由于它们对应顶点的连线AD，BE，CF交于O，则根据徳萨格定理知，它们的对应边BC和EF，CA和FD，AB和DE的交点X，Y，Z共线。

（图7）

此例证明的构图恰当，综合考虑可定理的条件和命题的内容。

此题的证明中只用到三角形的三条内角平分线交于一点（内心）这个性质，因此，若将此例中的角平分线改为三角形的高线或中线，则结论仍然成立，因为三角形的三条高线交于一点（垂心），三条中线也交于一点（重心）。

更一般地，对于三角形ABC的三边（所在直线）上任意点D，E，F，只要AD，BE，CF交于一点则上述结论同样成立。

例5设ABCD是四面体，点X在BC上。

一直线通过X分别交AB，AC于P，Q；

另一直线通过X分别交DB，DC于R，S。

求证PR与QS交在AD上？

（图8）

证明考察三点形PQA和RSD。

由于它们的对应边QA和SD，AP和DR，PQ和RS的交点C，B，X三点共线，则由徳萨格定理的逆定理知它们的对应顶点的连线PR，QS，AD交于一点，即PR与QS交在AD上。

此题的证明，分别用了徳萨格定理和徳萨格定理的逆定理。

两种证法选取的不同，源于两者构图的不同。

由此可见，用徳萨格定理（或逆定理）证明几何问题具有一定的灵活

3.3应用徳萨格定理求定点

例6已知OX，OY，OZ为三定直线（如图9）变动性三角形ABC第二顶点C点的轨迹CO结构图，A与B为二定点，其连线通过O点，R为OZ上的动点，且RA，RB交OX，OY于P，Q。

试证PQ通过AB上一定点？

证明如图9在OZ上变动到F时FA与OX交于D；

连接FB则与OY交于E。

在三角形ADP与三角形BEQ中，DP与EQ交于O，AP与BQ交于R，AD与BE交于F且O，R，F三点共线。

AB，DE，PQ交于S，由徳萨格定理的逆定理，AB为定直线，PQ与AB交于S，当F在OZ上变动时，E在OY上变动，D在OX上变动，所以DE一定通过AB与PQ的交点S，故PQ通过AB上一定点S。

（图9）

4.总结

综上所诉,在利用徳萨格定理和徳萨格定理的逆定理证明三线共点或三点共线问题时,关键是准确地找到两个对应三点形,而且要调整好对应顶点的顺序．以便达到证明的目的．共线问题和共点问题一般可以转化．在都适用时，一般共线问题用徳萨格定理，共点问题用徳萨格逆定理．当然，我们也要具体问题具体分析．此外,徳萨格定理在初等几何中的应用非常简单易懂实用,可以化简初等几何中繁琐的步骤，为几何的证明开辟了一条快捷之路．

5.参考文献

[1]梅向明，刘增贤，林向岩.高等几何.北京：

高等教育出版社.1983.

[2]朱德祥，高等几何.北京：

高等教育出版社。

1983.58—65

[3]钟集，高等几何.北京：

1983.24—32

[4]陈启旭，林达坚，高等几何，福州：

福建人民出版社198374—180

[5]赵宏量，几何教学探索，西南师范大学出版社。

1987