充要条件与量词文档格式.docx

充要条件与量词文档格式.docx

《充要条件与量词文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《充要条件与量词文档格式.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（1）全称量词：

短语“所有的”“任意一个”❷在逻辑中通常叫作全称量词．

（2）全称命题：

含有全称量词的命题．

（3）全称命题的符号表示：

形如“对M中的任意一个x，有p（x）成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p（x）．

3、存在量词与特称命题

（1）存在量词：

短语“存在一个”❷“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．

（2）特称命题：

含有存在量词的命题．

（3）特称命题的符号表示：

形如“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p（x0）．

三、自主热身、归纳总结

1、命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是（　　）

A．∃x0∈R，x＋x0≤0　　B．∃x0∈R，x＋x0＜0

C．∀x∈R，x2＋x≤0D．∀x∈R，x2＋x＜0

【答案】B

【解析】由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．故选B.

2、“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B.

【解析】选B　若x＝1，则（x－1）（x＋2）＝0显然成立，但反之不成立，即若（x－1）（x＋2）＝0，则x的值也可能为－2.

3、使不等式成立的一个充分不必要条件是　　

A．B．C．或D．

【答案】

【分析】不等式，即，，解得范围，即可判断出结论．

【解答】解：

不等式，即，，解得，或．

使不等式成立的一个充分不必要条件是：

．及，或．

4、命题“∃x∈[0，1]，x2－1≥0”是________命题（选填“真”或“假”）．

【答案】真

【解析】　取x＝1，则x2－1＝0，所以为真命题．

5、“”是“”成立的▲条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）．

【答案】充分不必要

【解析】根据正弦函数的图象，由可得，，或，故“”是“”成立的充分不必要条件.

6、（一题两空）已知p：

|x|≤m（m>

0），q：

－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________；

若p是q的必要条件，则m的最小值为________．

【答案】14

【解析】由|x|≤m（m>

0），得－m≤x≤m.

若p是q的充分条件⇒⇒0<

m≤1.

则m的最大值为1.

若p是q的必要条件⇒⇒m≥4.

则m的最小值为4.

四、例题选讲

考点一、充要条件、必要条件的判断

例1、已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）．

【答案】必要不充分　

【解析】根据直线与平面垂直的定义：

若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直．现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“l⊥m”推不出“l⊥α”，但是由定义知“l⊥α”可推出“l⊥m”，故填必要不充分．

变式1、“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线（a＋2）x－3y－2＝0垂直”的（　　）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【解析】直线ax＋y＋1＝0与直线（a＋2）x－3y－2＝0垂直的充要条件为a（a＋2）＋1×

（－3）＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线（a＋2）x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件.

变式2、.设x∈R，则“1<

x<

2”是“|x－2|<

1”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】　A

【解析】由|x－2|<

1，得1<

3，所以1<

2⇒1<

3；

但1<

31<

2.

所以“1<

1”的充分不必要条件.

变式3、设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

【答案】C

【解析】|a－3b|＝|3a＋b|⇔（a－3b）2＝（3a＋b）2⇔a2－6a·

b＋9b2＝9a2＋6a·

b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，

∴a·

b＝0⇔a⊥b，因此|a－3b|＝|3a＋b|是“a⊥b”的充要条件.

变式4、下列选项中，是的必要不充分条件的是　　

A．；

：

方程的曲线是椭圆

B．；

对，不等式恒成立

C．设是首项为正数的等比数列，：

公比小于0；

对任意的正整数，

D．已知空间向量，1，，，0，，；

向量与的夹角是

【答案】：

．

【解析】，若方程的曲线是椭圆，

则，即且，

即“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件；

，，不等式恒成立等价于恒成立，等价于；

“”是“对，不等式恒成立”必要不充分条件；

是首项为正数的等比数列，公比为，

当，时，满足，但此时，则不成立，即充分性不成立，

反之若，则

，，即，

则，即成立，即必要性成立，

则“”是“对任意的正整数，”的必要不充分条件．

空间向量，1，，，0，，

则，

，，

解得，

故“”是“向量与的夹角是”的充分不必要条件．

方法总结：

充要条件的三种判断方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断.

（2）集合法：

根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，

考点二、充要条件等条件的应用

例2、已知p：

，q：

{x|1－m≤x≤1＋m，m>

0}．

（1）若m＝1，则p是q的什么条件？

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

分析：

问题

（1）考查的仍是充要条件的判定，需要从“充分”和“必要”两个方面考察，并且用集合方法处理；

问题

（2）考查充要条件的应用，根据“若p是q的充分不必要条件”，得出所对应集合的关系，从而求出实数m的取值范围．

【解析】　

（1）因为p：

＝{x|－2≤x≤10}，

q：

0}＝{x|0≤x≤2}，

显然{x|0≤x≤2}{x|－2≤x≤10}，

所以p是q的必要不充分条件．

（2）由

（1），知p：

{x|－2≤x≤10}，因为p是q的充分不必要条件，

所以

解得m≥9，即m∈[9，＋∞）．

变式1、设p：

实数x满足x2－4ax＋3a2<

0，a∈R；

实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>

0.若a<

0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【解析】由p得（x－3a）（x－a）<

0，当a<

0时，3a<

a.

由q得x2－x－6≤0或x2＋2x－8>

0，则－2≤x≤3或x<

－4或x>

2，则x<

－4或x≥－2.

设p：

A＝（3a，a），q：

B＝（－∞，－4）∪[－2，＋∞），

又p是q的充分不必要条件.

可知AB，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－.

又∵a<

0，∴a≤－4或－≤a<

0，

即实数a的取值范围为（－∞，－4]∪.

变式2、已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.

【解析】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}.

∵x∈P是x∈S的必要条件，

则S⊆P.

∴解得m≤3.

又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.

综上，可知m≥0≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.

充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．

考点三、含有量词的命题

例3、已知函数f（x）＝3x2＋2x－a2－2a，g（x）＝x－，若对任意x1∈[－1,1]，总存在x2∈[0,2]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．

【解析】　f（x）＝3x2＋2x－a（a＋2），则f′（x）＝6x＋2，由f′（x）＝0得x＝－.

当x∈时，f′（x）<

0；

当x∈时，f′（x）>

所以[f（x）]min＝f＝－a2－2a－.

又由题意可知，f（x）的值域是的子集，

解得实数a的取值范围是[－2,0]．

变式1、若命题“∃x∈R，x2－mx－m<

0”是假命题，则实数m的取值范围是________．

【答案】[－4,0]

【解析】“∃x∈R，x2－mx－m<

0”是假命题，则“∀x∈R，x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，

∴－4≤m≤0

变式2、若命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1<

0”是假命题，则实数a的取值范围是____________．

[－，]

【解析】命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1<

0”是假命题，即“∀x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.

变式3、若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

【答案】（2，＋∞）　

【解析】“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则其否定“对任意x∈R，ax2＋4x＋a>

0”为真命题，当a＝0,4x>

0不恒成立，故不成立；

当a≠0时，解得a>

2，所以实数a的取值范围是（2，＋∞）．

理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，

五、优化提升与真题演练

1、设x>

0，y∈R，则“x>

y”是“x>

|y|”的（　　）

【解析】x>

yx>

|y|（如x＝1，y＝－2）.

但x>

|y|时，能有x>

y.

∴“x>

|y|”的必要不充分条件.

2、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）

A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面

【解析】由面面平行的判定定理知：

内有两条相交直线都与平行是的充分条件；

由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.

故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.

故选B．

3、（2018·

北京卷）设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的（　　）

A.充分而不必