圆锥曲线导数全国高考数学分类真题含答案文档格式.docx

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xC．y=±

xD．y=±

x

6．已知双曲线C：

﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（　　）

A．B．3C．2D．4

7．设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　）

A．y=﹣2xB．y=﹣xC．y=2xD．y=x

二．填空题（共6小题）

8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为　　．

9．已知椭圆M：

+=1（a＞b＞0），双曲线N：

﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为　　；

双曲线N的离心率为　　．

10．已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=　　时，点B横坐标的绝对值最大．

11．已知点M（﹣1，1）和抛物线C：

y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°

，则k=

　　．

12．曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=　　．

13．曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为　　．

三．解答题（共13小题）

14．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线与x轴平行，求a；

（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．

16．如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：

y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：

PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．

17．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l：

y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．

18．已知斜率为k的直线l与椭圆C：

+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．

（1）证明：

k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：

||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．

19．设抛物线C：

y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

20．设椭圆C：

+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：

∠OMA=∠OMB．

21．记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．

函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；

（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．

22．已知函数f（x）=﹣lnx．

（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：

f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；

（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：

对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．

23．已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a＞1．

（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；

（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=；

（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．

24．已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．

（1）若a=0，证明：

当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；

当x＞0时，f（x）＞0；

（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．

25．已知函数f（x）=ex﹣ax2．

（1）若a=1，证明：

当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．

26．已知函数f（x）=﹣x+alnx．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：

＜a﹣2．

参考答案与试题解析

【解答】解：

∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，

由此可得c==2，

∴该双曲线的焦点坐标为（±

2，0）

故选：

B．

由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线

y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），

AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，

F是AB的中点，EF==3，

EF==b，

所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，

可得：

，解得a=．

则双曲线的方程为：

﹣=1．

C．

双曲线C：

﹣=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=x，

∴点F2到渐近线的距离d==b，即|PF2|=b，

∴|OP|===a，cos∠PF2O=，

∵|PF1|=|OP|，

∴|PF1|=a，

在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，

∴6a2=b2+4c2﹣2×

b×

2c×

=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），

即3a2=c2，

即a=c，

∴e==，

由题意可知：

A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），

直线AP的方程为：

y=（x+a），

由∠F1F2P=120°

，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），

代入直线AP：

c=（2c+a），整理得：

a=4c，

∴题意的离心率e==．

D．

∵双曲线的离心率为e==，

则=====，

即双曲线的渐近线方程为y=±

x=±

x，

A．

﹣y2=1的渐近线方程为：

y=，渐近线的夹角为：

60°

，不妨设过F（2，0）的直线为：

y=，

则：

解得M（，），

解得：

N（），

则|MN|==3．

函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，

可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，

曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：

1，

则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：

y=x．

8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为　2　．

双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，

=b=，

可得，即c=2a，

所以双曲线的离心率为：

e=．

故答案为：

2．

﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为　　；

双曲线N的离心率为　2　．

椭圆M：

﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，

可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：

，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），

解得e=．

同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，

，即，

可得双曲线的离心率为e==2．

；

10．已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=　5　时，点B横坐标的绝对值最大．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由P（0，1），=2，

可得﹣