学年高中数学人教A版必修四教学案第一章 章末小结与测评 Word版含答案Word文件下载.docx
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α<
0,则点P(tanα,cosα)位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:
(1)选A 由定义可得sinα==x,x<
0,可得x=-,∴cosα==.
(2)选B ∵-<
0,∴tanα<
0,cosα>
0,
∴点P(tanα,cosα)位于第二象限.
三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式.化简的顺序是:
(1)先用诱导公式化为同角三角函数.
(2)再用同角三角函数关系化简.
用同角三角函数关系化简时,有两种思路:
①化弦法:
当切函数的项比较少时,常常化弦达到化简的目的;
②化切法:
当弦函数的项比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时,常常化切,便于化简.
[典例2] 已知=-4,求(sinθ-3cosθ)·
(cosθ-sinθ)的值.
==-4,解得tanθ=2.
(sinθ-3cosθ)·
(cosθ-sinθ)
=sinθcosθ-sin2θ-3cos2θ+3sinθcosθ
=
=.
2.化简下列各式:
(1)+
;
(2)+-tan36°
·
tan54°
.
(1)原式
=+
=-+
=-cos2α+sin2α
=2sin2α-1.
(2)原式
=+-tan36°
=-+1-
tan36°
=-
=-.
(1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x轴的交点,描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线.
周期变换ω(ω>
0)→周期变换ω(ω>
0)→振幅变换A(A>
0)和周期变换ω(ω>
0)→相位变换φ(φ≠0)→振幅变换A(A>
0).注意二者平移量的不同.
(3)由已知条件确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式,需要确定A,ω,φ,其中A,ω易求,下面介绍求φ的几种方法.
①平衡点法
由y=Asin(ωx+φ)=Asin知它的平衡点的横坐标为-,所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点,令其横坐标为x1=-,则可求φ.
②确定最值法
这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论,只需解一个特殊的三角方程.
③利用单调性
将函数y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sinx的图象比较,选取它们的某一个单调区间得到一个等式,解答即可求出φ.
[典例3] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象上的一个最低点为M,周期为π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后再将所得的图象沿x轴向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,写出函数y=g(x)的解析式;
(3)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.
(1)由题可知T==π,
∴ω=2.又f(x)min=-2,
∴A=2.由f(x)的最低点为M,得sin=-1.
∵0<
φ<
,
∴<
+φ<
∴+φ=.∴φ=.∴f(x)=2sin.
(2)y=2siny=2sin=2siny=2sin=2sinx,∴g(x)=2sinx.
(3)∵0≤x≤,∴≤2x+≤.
∴当2x+=,即x=0时,f(x)min=2sin=1,
当2x+=,即x=时,f(x)max=2sin=.
3.函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象大致是( )
选D 当x∈时,sinx≥0,tanx≤0,
∴tanx-sinx≤0.
∴y=tanx+sinx-(sinx-tanx)=2tanx.
同理,当x∈时,sinx<
0,tanx>
故tanx-sinx>
0.
∴y=tanx+sinx-(tanx-sinx)=2sinx.
综上可知,选项D正确.
4.如图,是函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>
0,ω>
0)的一段图象.
(1)求此函数解析式;
(2)分析一下该函数是如何通过y=sinx变换得来的?
(1)由图象知
A==,
k==-1,
T=2×
=π,
∴ω==2.∴y=sin(2x+φ)-1.
当x=时,2×
+φ=,∴φ=.
∴所求函数解析式为y=sin-1.
(2)把y=sinx向左平移个单位,得到y=sin,然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的,得到y=sin,再横坐标保持不变,纵坐标变为原来的,得到y=
sin,最后把函数y=sin的图象向下平移1个单位,得到y=sin-1的图象.
(1)函数y=sinx和y=cosx的周期是2π,y=tanx的周期是π;
函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期是,y=Atan(ωx+φ)的周期是.
(2)函数y=sinx和y=cosx的有界性为:
-1≤sinx,cosx≤1,函数y=tanx没有最值.有界性可用来解决三角函数的最值问题.
(3)函数y=sinx在上递增,在上递减;
函数y=cosx在[-π+2kπ,2kπ]上递增,在[2kπ,2kπ+π]上递减;
函数y=tanx在上递增,以上k∈Z.
(4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时,注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内;
求形如f(ωx+φ)的单调区间时,采用整体代换的方法将ωx+φ视为整体求解相应x的范围即可,注意ω的符号及f对单调性的影响.
[典例4] 函数y=Asin(ωx+φ)(A>
0)在x∈(0,7π)内取到一个最大值和一个最小值,且当x=π时,y有最大值3,当x=6π时,y有最小值-3.
(2)写出该函数的单调递增区间.
(1)由题可知A=3,=5π,
∴T=10π.
∴ω==,π+φ=.
∴φ=.
∴y=3sin.
(2)令2kπ-≤x+≤2kπ+,
得10kπ-4π≤x≤10kπ+π,k∈Z.
∴函数的单调递增区间为
{x|10kπ-4π≤x≤10kπ+π,k∈Z}.
5.函数f(x)=3sin的图象为C.
①图象C关于直线x=对称;
②函数f(x)在区间内是增函数;
③由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
以上三个论断中,正确论断的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
选C ①f=3sin=3sin=-3,
∴直线x=为对称轴,①对;
②由-<
x<
⇒-<
2x-<
由于函数y=3sinx在内单调递增,
故函数f(x)在内单调递增,②对;
③f(x)=3sin2,而由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数y=3sin2的图象,得不到图象C,③错.
(时间:
120分钟 满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在0°
~360°
的范围内,与-510°
终边相同的角是( )
A.330°
B.210°
C.150°
D.30°
选B 因为-510°
=-360°
×
2+210°
,因此与-510°
终边相同的角是210°
2.若sinα=,<
π,则sin=( )
A.-B.-
C.D.
选A ∵sin=cosα,
又<
π,sinα=,∴cosα=-.
3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是( )
A.2B.
C.2sin1D.sin2
选B 如图,由题意知θ=1,BC=1,圆的半径r满足sinθ=sin1=,
所以r=,弧长AB=2θ·
r=.
4.函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是( )
A.x=B.x=
C.x=-D.x=-
选C f(x)=sin的图象的对称轴为x-=kπ+,k∈Z,得x=kπ+,
当k=-1时,则其中一条对称轴为x=-.
5.化简得( )
A.sin2+cos2B.cos2-sin2
C.sin2-cos2D.±
cos2-sin2
选C
=,
∵<
2<
π,∴sin2-cos2>
∴原式=sin2-cos2.
6.函数f(x)=tan的单调增区间为( )
A.,k∈Z
B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
选C 令kπ-<
x+<
kπ+,k∈Z,解得kπ-<
kπ+,k∈Z,选C.
7.已知sin=,则sin的值为( )
A.B.-C.D.-
选C ∵+=π,
∴-α=π-,
∴sin=sin=sin=.
8.设α是第三象限的角,且=-cos,则的终边所在的象限是( )
选B ∵α是第三象限的角,
∴π+2kπ<
+2kπ,k∈Z.
∴+kπ<
<
+kπ,k∈Z.
∴在第二或第四象限.
又∵=-cos,∴cos<
∴是第二象限的角.
9.函数y=cos2x+sinx的最大值与最小值之和为( )
A.B.2C.0D.
选A f(x)=1-sin2x+sinx=-+,∵-≤x≤,
∴-≤sinx≤.
当sinx=-时,f(x)min=;
当sinx=时,f(x)max=,
∴f(x)min+f(x)max=+=.
10.将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位,得到的图象对应的解析式为( )
A.y=sinxB.y=sin
C.y=sinD.y=sin
选C 将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即将x变为x,即可得y=sin,然后将其图象向左平移个单位,即将x变为x+.
∴y=sin=sin.
11.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>
0,|φ|<
π)的一段图象如图所示,则函数的解析式为( )
A.y=2sin
B.y=2sin或y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
选C 由图象可知A=2,因为-=,
所以T=π,ω=2.
当x=-时,2sin=2,
即sin=1,又|φ|<
π,
解得φ=.故函数的解析式为y=2sin.