学年高中数学人教A版必修四教学案第一章 章末小结与测评 Word版含答案Word文件下载.docx

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α<

0，则点P（tanα，cosα）位于（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析：

（1）选A　由定义可得sinα＝＝x，x<

0，可得x＝－，∴cosα＝＝.

（2）选B　∵－<

0，∴tanα<

0，cosα>

0，

∴点P（tanα，cosα）位于第二象限.

三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．化简的顺序是：

（1）先用诱导公式化为同角三角函数．

（2）再用同角三角函数关系化简．

用同角三角函数关系化简时，有两种思路：

①化弦法：

当切函数的项比较少时，常常化弦达到化简的目的；

②化切法：

当弦函数的项比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时，常常化切，便于化简．

[典例2]　已知＝－4，求（sinθ－3cosθ）·

（cosθ－sinθ）的值．

＝＝－4，解得tanθ＝2.

（sinθ－3cosθ）·

（cosθ－sinθ）

＝sinθcosθ－sin2θ－3cos2θ＋3sinθcosθ

＝

＝.

2．化简下列各式：

（1）＋

；

（2）＋－tan36°

·

tan54°

.

（1）原式

＝＋

＝－＋

＝－cos2α＋sin2α

＝2sin2α－1.

（2）原式

＝＋－tan36°

＝－＋1－

tan36°

＝－

＝－.

（1）“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线．

周期变换ω（ω>

0）→周期变换ω（ω>

0）→振幅变换A（A>

0）和周期变换ω（ω>

0）→相位变换φ（φ≠0）→振幅变换A（A>

0）．注意二者平移量的不同．

（3）由已知条件确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式，需要确定A，ω，φ，其中A，ω易求，下面介绍求φ的几种方法．

①平衡点法

由y＝Asin（ωx＋φ）＝Asin知它的平衡点的横坐标为－，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x1＝－，则可求φ.

②确定最值法

这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程．

③利用单调性

将函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与y＝sinx的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出φ.

[典例3]　已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图象上的一个最低点为M，周期为π.

（1）求f（x）的解析式；

（2）将y＝f（x）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后再将所得的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，写出函数y＝g（x）的解析式；

（3）当x∈时，求函数f（x）的最大值和最小值．

（1）由题可知T＝＝π，

∴ω＝2.又f（x）min＝－2，

∴A＝2.由f（x）的最低点为M，得sin＝－1.

∵0<

φ<

，

∴<

＋φ<

∴＋φ＝.∴φ＝.∴f（x）＝2sin.

（2）y＝2siny＝2sin＝2siny＝2sin＝2sinx，∴g（x）＝2sinx.

（3）∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.

∴当2x＋＝，即x＝0时，f（x）min＝2sin＝1，

当2x＋＝，即x＝时，f（x）max＝2sin＝.

3．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象大致是（　　）

选D　当x∈时，sinx≥0，tanx≤0，

∴tanx－sinx≤0.

∴y＝tanx＋sinx－（sinx－tanx）＝2tanx.

同理，当x∈时，sinx<

0，tanx>

故tanx－sinx>

0.

∴y＝tanx＋sinx－（tanx－sinx）＝2sinx.

综上可知，选项D正确．

4．如图，是函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k（A>

0，ω>

0）的一段图象．

（1）求此函数解析式；

（2）分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的？

（1）由图象知

A＝＝，

k＝＝－1，

T＝2×

＝π，

∴ω＝＝2.∴y＝sin（2x＋φ）－1.

当x＝时，2×

＋φ＝，∴φ＝.

∴所求函数解析式为y＝sin－1.

（2）把y＝sinx向左平移个单位，得到y＝sin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝

sin，最后把函数y＝sin的图象向下平移1个单位，得到y＝sin－1的图象.

（1）函数y＝sinx和y＝cosx的周期是2π，y＝tanx的周期是π；

函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的周期是，y＝Atan（ωx＋φ）的周期是.

（2）函数y＝sinx和y＝cosx的有界性为：

－1≤sinx，cosx≤1，函数y＝tanx没有最值．有界性可用来解决三角函数的最值问题．

（3）函数y＝sinx在上递增，在上递减；

函数y＝cosx在[－π＋2kπ，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ＋π]上递减；

函数y＝tanx在上递增，以上k∈Z.

（4）利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内；

求形如f（ωx＋φ）的单调区间时，采用整体代换的方法将ωx＋φ视为整体求解相应x的范围即可，注意ω的符号及f对单调性的影响．

[典例4]　函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>

0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，y有最大值3，当x＝6π时，y有最小值－3.

（2）写出该函数的单调递增区间．

（1）由题可知A＝3，＝5π，

∴T＝10π.

∴ω＝＝，π＋φ＝.

∴φ＝.

∴y＝3sin.

（2）令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，

得10kπ－4π≤x≤10kπ＋π，k∈Z.

∴函数的单调递增区间为

{x|10kπ－4π≤x≤10kπ＋π，k∈Z}．

5．函数f（x）＝3sin的图象为C.

①图象C关于直线x＝对称；

②函数f（x）在区间内是增函数；

③由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.

以上三个论断中，正确论断的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

选C　①f＝3sin＝3sin＝－3，

∴直线x＝为对称轴，①对；

②由－<

x<

⇒－<

2x－<

由于函数y＝3sinx在内单调递增，

故函数f（x）在内单调递增，②对；

③f（x）＝3sin2，而由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin2的图象，得不到图象C，③错．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（时间：

120分钟　满分：

150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．在0°

～360°

的范围内，与－510°

终边相同的角是（　　）

A．330°

B．210°

C．150°

D．30°

选B　因为－510°

＝－360°

×

2＋210°

，因此与－510°

终边相同的角是210°

2．若sinα＝，<

π，则sin＝（　　）

A．－B．－

C.D.

选A　∵sin＝cosα，

又<

π，sinα＝，∴cosα＝－.

3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（　　）

A．2B.

C．2sin1D．sin2

选B　如图，由题意知θ＝1，BC＝1，圆的半径r满足sinθ＝sin1＝，

所以r＝，弧长AB＝2θ·

r＝.

4．函数f（x）＝sin的图象的一条对称轴是（　　）

A．x＝B．x＝

C．x＝－D．x＝－

选C　f（x）＝sin的图象的对称轴为x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，

当k＝－1时，则其中一条对称轴为x＝－.

5．化简得（　　）

A．sin2＋cos2B．cos2－sin2

C．sin2－cos2D．±

cos2－sin2

选C　

＝，

∵<

2<

π，∴sin2－cos2>

∴原式＝sin2－cos2.

6．函数f（x）＝tan的单调增区间为（　　）

A.，k∈Z

B．（kπ，（k＋1）π），k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

选C　令kπ－<

x＋<

kπ＋，k∈Z，解得kπ－<

kπ＋，k∈Z，选C.

7．已知sin＝，则sin的值为（　　）

A.B．－C.D．－

选C　∵＋＝π，

∴－α＝π－，

∴sin＝sin＝sin＝.

8．设α是第三象限的角，且＝－cos，则的终边所在的象限是（　　）

选B　∵α是第三象限的角，

∴π＋2kπ<

＋2kπ，k∈Z.

∴＋kπ<

<

＋kπ，k∈Z.

∴在第二或第四象限．

又∵＝－cos，∴cos<

∴是第二象限的角．

9．函数y＝cos2x＋sinx的最大值与最小值之和为（　　）

A.B．2C．0D.

选A　f（x）＝1－sin2x＋sinx＝－＋，∵－≤x≤，

∴－≤sinx≤.

当sinx＝－时，f（x）min＝；

当sinx＝时，f（x）max＝，

∴f（x）min＋f（x）max＝＋＝.

10．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式为（　　）

A．y＝sinxB．y＝sin

C．y＝sinD．y＝sin

选C　将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即将x变为x，即可得y＝sin，然后将其图象向左平移个单位，即将x变为x＋.

∴y＝sin＝sin.

11．已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>

0，|φ|<

π）的一段图象如图所示，则函数的解析式为（　　）

A．y＝2sin

B．y＝2sin或y＝2sin

C．y＝2sin

D．y＝2sin

选C　由图象可知A＝2，因为－＝，

所以T＝π，ω＝2.

当x＝－时，2sin＝2，

即sin＝1，又|φ|<

π，

解得φ＝.故函数的解析式为y＝2sin.