二次函数与一元二次方程根的分布Word格式文档下载.docx

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a＞0时,绝对不等式f（x）＞0解为x∈R．

a＜0时,绝对不等式f（x）＜0解为x∈R．

2．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种：

（1）应用求根公式；

（2）应用根与系数关系；

（3）应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这种转化的等价性．

就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法．

设f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋x=0的个根为α，β（α≤β），m，n为常数，且n＜m，方程根的分布无外乎两种情况：

②α，β同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑

三、好题解给你

（1）

（1） 

预习题

1.设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问，

当x∈[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小？

由此y＝f（x）在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么？

解：

经配方有y＝2（x-2）2-7

∵对称轴x＝2，区间[3，4]在对称轴右边，

∴y＝f（x）在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此

ymax=f（4）＝1．

ymin＝f（3）＝-5．

2.设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？

当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？

与a取值有何关系？

由此，求y＝f（x）在[3，4]上的最大值与最小值．

经配方有y＝2（x-a）2+3．

对称轴为x=a．

当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值也变大．

当3＜a＜4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3≤x≤a，随x变大，y的值变小，但若a≤x≤4，随x变大，y的值变大．

当4≤a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值反而变小．

根据上述分析，可知．

当a≤3时，ymax=f（4）=2a2-16a+35．ymin=f（3）＝2a2-12a+21．

当3＜a＜4时，ymin＝f（a）＝3．

其中，a≤3.5时，ymax＝f（4）＝2a2-16a+35．

a≥3.5时，ymax＝f（3）＝2a2-12a+21．

当a≥4时，ymax＝f（3）＝2a2-12a+21．ymin＝f（4）＝2a2-16a+35．

（2）

（2） 

基础题

例1．设有一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）＝0．试问：

（1）m为何值时，有一正根、一负根．

（2）m为何值时，有一根大于1、另一根小于1．

（3）m为何值时，有两正根．

（4）m为何值时，有两负根．

（5）m为何值时，仅有一根在[1，4]内？

（1）设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x2＜0，依违达定理有m+2＜0．

∴　m＜-2．

反思回顾：

x1、x2＜0条件下，ac＜0，因此能保证△＞0．

（2）设x1＜1，x2＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0只要求（x1-1）（x2-1）＜0，即x1x2-（x1+x2）+1＜0．

依韦达定理有

（m+2）+2（m-1）+1＜0．

（3）若x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞0且x1，x2＞0,故应满足条件

（5）由图象不难知道，方程f（x）＝0在[3，4]内仅有一实根条件为f（3）·

f（4）＜0，即

[9+6（m-1）+（m+2）]·

[16+8（m-1）+（m+2）]＜0．

∴（7m+1）（9m+10）＜0．

例2.当m为何值时，方程有两个负数根？

负数根首先是实数根，∴，

由根与系数关系：

要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正．

由以上分析，有

即

∴当时，原方程有两个负数根．

（3）（3） 

应用题

例1.m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？

设f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2

所以当-5＜m≤-4时，方程的两个实根大于2．

例2．已知关于x方程：

x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围．

设f（x）=x2-2ax＋a，则方程f（x）=0的两个根α，β就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标，如图0＜α＜1，β＞2的条件是：

＜1，β＞2．

例3．m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2.

设f（x）=x2＋（m-2）x＋5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f

（2）＜0，即4＋2（m-2）＋5-m＜0．解得m＜-5．所以当m＜-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2．

（4）（4） 

提高题

例1．已知函数的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围．

（1）当，则所给函数为二次函数，图象满足：

，即

解得：

（2）当时，

若，则的图象不可能都在x轴上方，∴

若，则y=3的图象都在x轴上方

由

（1）

（2）得：

此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论．

例2．已知关于x的方程（m-1）x2-2mx＋m2+m-6=0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β，求实数m的取值范围．

设f（x）=x2-2mx+m2＋m-6，则方程f（x）=0的两个根α，β，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标．

如图，0＜α＜1＜β的条件是

解得

例3．已知关于x的方程3x2-5x＋a=0的有两个实根α，β，满足条件α∈（-2，0），β∈（1，3），求实数a的取值范围．

设f（x）=3x2-5x＋a，由图象特征可知方程f（x）=0的两根α，β，并且α∈（-2，0），β∈（1，3）的

解得-12＜a＜0．

四、课后演武场

1.已知方程（m-1）x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（B）

A．　　　B．　　　C．　　D．

2.方程x2+（m2-1）x+（m-2）=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是（C）

A．0＜m＜2　　　B．-3＜m＜1　　　C．-2＜m＜0　　　D．-1＜m＜1

3.已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（C）

A．　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　D．

4．已知关于x的方程3x2+（m-5）x＋7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围．

可知方程f（x）=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：

f（4）＜0）

5．已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围．

征可知方程f（x）=0的两根都在（0，2）内的充要条件是

学科：

数学

教学内容：

二次函数与一元二次方程

Ⅰ．背景材料

坐标系的由来

传说中有这么一个故事：

有一天，笛卡尔（1598～1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：

几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？

这里，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩．他就拼命琢磨通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来．突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝．蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗．他想，可以把蜘蛛看作一个点，他在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？

他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？

反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、2、1，也可以用空间中的一个点P来表示它们（如图2-8-1①）．同样，用一组数（a、b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示（如图2-8-1②）．于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系．

无论这个传说的可靠性如何，有一点是可以肯定的，就是笛卡尔是个勤于思考的人．这个有趣的传说，就像瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖发明了蒸汽机一样，说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中，很可能是受到周围一些事物的启发，触发了灵感．

直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将先进的代数方法应用于几何学的研究．

笛卡尔在创建直角坐标系的基础上，创造了用代数方法来研究几何图形的数学分支——解析几何．他的设想是：

只要把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某处共同特性的点组成的．比如，我们把圆看成是一个动点对定点O作等距离运动的轨迹，也就可以把圆看作是由无数到定点O的距离相等的点组成的．我们把点看作是组成图形的基本元素，把数看成是组成方程的基本元素，只要把点和数挂上钩，也就可以把几何和代数挂上钩．

把图形看成点的运动轨迹，这个想法很重要！

它从指导思想上，改变了传统的几何方法．笛卡尔根据自己的这个想法，在《几何学》中，最早为运动着的点建立坐标，开创了几何和代数挂钩的解析几何．在解析几何中，运点的坐标就成了变数，这是数学第一次引进变数．

恩格期高度评价笛卡尔的工作，他说：

“数学中的转折点是笛卡尔的变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学．”

坐标方法在日常生活中用得很多．例如象棋、国际象棋中棋子的定位，电影院、剧院、体育馆的看台，火车车厢的座位及高层建筑的房间编号等都用到坐标的概念．

随着同学们知识的不断增加，坐标方程的应用会更加广泛．

悟与问：

勤于思考，才会有所发现，灵感肯定不会自己从天上落下来，那么我们在学习中，怎样才会有许多灵感呢？

Ⅱ．课前准备

一、课标要求

体会二次函数与方程之间的联系；

掌握用图象法求方程的近似根；

理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；

理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．

二、预习提示

1．关键概念和原理提示

（1）抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的交点的横坐标即方程ax2＋bx＋c=0的根．

（2）抛物线与x轴交点与方程ax2＋bx＋c=0根的情况相同，有三种．

（3）判别抛物线与x轴交点的情况可用方程判别式△=b2－4ac．

2．预习方法提示：

由实际问题引出，抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交点即