全国通用届高考数学大一轮复习第十四章系列4选讲141坐标系与参数方程第2课时参数方程学案Word文档格式.docx

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椭圆

＋＝1（a>

b>

0）

（φ为参数）

抛物线

y2＝2px（p>

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）参数方程中的x，y都是参数t的函数．（　√　）

（2）过M0（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．参数t的几何意义表示：

直线l上以定点M0为起点，任一点M（x，y）为终点的有向线段M0M的数量．（　√　）

（3）方程（θ为参数）表示以点（0,1）为圆心，以2为半径的圆．（　√　）

（4）已知椭圆的参数方程（t为参数），点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.（　×

　）

题组二　教材改编

2．[P25例3]曲线（θ为参数）的对称中心（　　）

A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上

C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上

答案　B

解析　由得

所以（x＋1）2＋（y－2）2＝1.曲线是以（－1,2）为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为（－1,2），在直线y＝－2x上．

3．[P37例2]在平面直角坐标系xOy中，若直线l：

（t为参数）过椭圆C：

（φ为参数）的右顶点，求常数a的值．

解　直线l的普通方程为x－y－a＝0，

椭圆C的普通方程为＋＝1，

∴椭圆C的右顶点坐标为（3,0），若直线l过（3,0），

则3－a＝0，∴a＝3.

题组三　易错自纠

4．直线l的参数方程为（t为参数），求直线l的斜率．

解　将直线l的参数方程化为普通方程为

y－2＝－3（x－1），因此直线l的斜率为－3.

5．设P（x，y）是曲线C：

（θ为参数，θ∈[0,2π））上任意一点，求的取值范围．

解　由曲线C：

（θ为参数），

得（x＋2）2＋y2＝1，表示圆心为（－2,0），半径为1的圆．

表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设＝k，则原问题转化为y＝kx和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d≤r，所以≤1，解得－≤k≤，

所以的取值范围为.

6．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）设点P（m,0），若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|·

|PB|＝1，求实数m的值．

解　

（1）曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，

化为ρ2＝2ρcosθ，可得直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.

直线l的参数方程是（t为参数），

消去参数t可得x＝y＋m，

即y－x＋m＝0.

（2）把（t为参数）代入方程x2＋y2＝2x，

化为t2＋（m－）t＋m2－2m＝0，①

由Δ>

0，解得－1<

m<

3.

设t1，t2为方程①的两个实数根，

∴t1t2＝m2－2m.

∵|PA|·

|PB|＝1＝|t1t2|，∴m2－2m＝±

1，

解得m＝1±

或m＝1，满足Δ>

0.

∴实数m＝1±

或m＝1.

题型一　参数方程与普通方程的互化

1．（2018·

开封调研）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.

（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；

（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．

解　

（1）曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，

即（x－2）2＋y2＝4.

直线l的普通方程为x－y＋2＝0.

（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，

得（2x－2）2＋y2＝4，即（x－1）2＋＝1，

再将所得曲线向左平移1个单位长度，

得曲线C1：

x2＋＝1，

则曲线C1的参数方程为（θ为参数）．

设曲线C1上任一点P（cosθ，2sinθ），

则点P到直线l的距离

d＝

＝≥，

所以点P到直线l的距离的最小值为.

2．在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥（直或斜）得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆（ellipse）、双曲线（hyperboler）和抛物线（parabola），在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：

“在平面上给定两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ（λ>

0且λ≠1），P点的轨迹是圆．”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M与长度为3的线段OA两端点的距离之比为＝，建立适当坐标系，求出M点的轨迹方程并化为参数方程．

解　由题意，以OA所在直线为x轴，过O点作OA的垂线为y轴，建立直角坐标系，

设M（x，y），则O（0,0），A（3,0）．

因为＝，即＝，

化简得（x＋1）2＋y2＝4，

所以点M的轨迹是以（－1,0）为圆心，2为半径的圆．

由圆的参数方程可得

思维升华消去参数的方法一般有三种

（1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．

（2）利用三角恒等式消去参数．

（3）根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．

将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f（t）和g（t）的值域，即x和y的取值范围．

题型二　参数方程的应用

典例（2017·

全国Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）若a＝－1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.

解　

（1）曲线C的普通方程为＋y2＝1.

当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.

由

解得或

从而C与l的交点坐标是（3,0），.

（2）直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的点（3cosθ，sinθ）到l的距离为d＝.

当a≥－4时，d的最大值为.

由题设得＝，所以a＝8；

当a<

－4时，d的最大值为.

由题设得＝，

所以a＝－16.

综上，a＝8或a＝－16.

思维升华

（1）解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决．

（2）对于形如（t为参数），当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．

跟踪训练（2017·

吉林实验中学月考）已知椭圆C：

＋＝1，直线l：

（t为参数）．

（1）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；

（2）设A（1,0），若椭圆C上的点P满足到点A的距离与到直线l的距离相等，求点P的坐标．

解　

（1）椭圆C的参数方程为（θ为参数），

直线l的普通方程为x－y＋9＝0.

（2）设P（2cosθ，sinθ），

则|AP|＝＝2－cosθ，

P到直线l的距离

d＝＝.

由|AP|＝d，得3sinθ－4cosθ＝5，

又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝，cosθ＝－.

故P.

题型三　极坐标方程和参数方程的综合应用

全国Ⅲ）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：

ρ（cosθ＋sinθ）－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

解　

（1）消去参数t，得l1的普通方程l1：

y＝k（x－2）；

消去参数m，得l2的普通方程l2：

y＝（x＋2）．

设P（x，y），由题设得

消去k得x2－y2＝4（y≠0）．

所以C的普通方程为x2－y2＝4（y≠0）．

（2）C的极坐标方程为ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4（0＜θ＜2π，θ≠π）．

联立得

cosθ－sinθ＝2（cosθ＋sinθ）．

故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.

代入ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4，得ρ2＝5，

所以交点M的极径为.

思维升华在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．

跟踪训练（2018·

福州调研）在直角坐标系xOy中，曲线C1：

（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝2sinθ，曲线C3：

ρ＝2cosθ.

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

解　

（1）曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，

曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.

联立

所以C2与C3交点的直角坐标为（0,0）和.

（2）曲线C1的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤α＜π.

因此A的极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．

所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.

当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.

保定模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

（1）写出⊙C的直角坐标方程；

（2）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

解　

（1）由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，

所以x2＋y2＝2y，

所以⊙C的直角坐标方程为x2＋（y－）2＝3.

（2）设P，又C（0，），

则|PC|＝＝，

故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，点P的直角坐标为（3,0）．

2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数）．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．

解　直线l的参数方程化为普通方程为x－y－＝0，

椭圆C的参数方程化为普通方程为x2＋＝1，

联立方程组

不妨取A（1,0），B，

则|AB|＝＝.

3．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程．

解　∵直线l的直角坐标方程为x－y＋＝0，

∴原点到直线l的距离r＝＝1.

∴以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.

4．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为