高考数学文一轮复习讲练测专题47 正弦定理和余弦定理的应用讲答案解析文档格式.docx

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DE＝＝＝130（m），EF＝＝＝150（m）．

在△DEF中，由余弦定理，

得cos∠DEF＝＝＝.故选A.

5.【改编自2013年江苏卷】如图，旅客从某旅游区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为m/min，在甲出发2min后，乙从乘缆车到，在处停留1min后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路长1260m，经测量，，

.

（1）求索道的长；

（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（1）1040m；

（2）当（min）时，甲、乙两游客距离最短.

（1）在中，∵，，∴，，

从而.

由正弦定理，得，所以索道的长为1040（m）.

（2）假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了m，乙距离处m，

由余弦定理得，

∵，即，故当（min）时，甲、乙两游客距离最短.

【考点深度剖析】

高考对正弦定理和余弦定理应用的考查，主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题，要去弄懂有关术语，认真理解题意，难度不大．

【经典例题精析】

考点1测量距离问题

【题组全面展示】

【1-1】【2015济宁模拟】如图，经过村庄A有两条夹角为60°

的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：

千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）?

【解析】　设∠AMN＝θ，在△AMN中，

＝.

因为MN＝2，所以AM＝sin（120°

－θ）．

在△APM中，cos∠AMP＝cos（60°

＋θ）．

AP2＝AM2＋MP2－2AM·

MP·

cos∠AMP

＝sin2（120°

－θ）＋4－2×

2×

sin（120°

－θ）cos（60°

＋θ）＝sin2（θ＋60°

）－sin（θ＋60°

）cos（θ＋60°

）＋4

＝[1－cos（2θ＋120°

）]－sin（2θ＋120°

＝－[sin（2θ＋120°

）＋cos（2θ＋120°

）]＋

＝－sin（2θ＋150°

），θ∈（0，120°

）．

当且仅当2θ＋150°

＝270°

，即θ＝60°

时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2，此时AM＝AN＝2千米.

【1-2】如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝.若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°

，试计算AB的长．

【解析】在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·

BCcos∠ACB，

∴AB2＝4002＋6002－2×

400×

600cos60°

＝280000.∴AB＝200m.

即A，B两点间的距离为200m.

【1-3】如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60m，∠BAC＝75°

，∠BCA＝45°

，则A，B两点间的距离为________．

【解析】∠ABC＝180°

－75°

－45°

＝60°

，所以由正弦定理得，＝，

∴AB＝＝＝20（m）．即A，B两点间的距离为20m.

【课本回眸】

实际问题中的有关概念

（1）仰角和俯角：

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）．

（2）方位角：

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图2）．

（3）方向角：

相对于某一正方向的水平角（如图3）

①北偏东α°

即由指北方向顺时针旋转α°

到达目标方向．

②北偏西α°

即由指北方向逆时针旋转α°

③南偏西等其他方向角类似．

（4）坡度：

①定义：

坡面与水平面所成的二面角的度数（如图4，角θ为坡角）．

②坡比：

坡面的铅直高度与水平长度之比（如图4，i为坡比）．

【方法规律技巧】

研究测量距离问题，解决此问题的方法是：

选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.归纳起来常见的命题角度有：

1两点都不可到达；

2两点不相通的距离；

3两点间可视但有一点不可到达.

【新题变式探究】

【变式一】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°

且与该港口相距20nmile的A处，并以30nmile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以vnmile/h的航行速度匀速行驶，经过th与轮船相遇．

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30nmile/h，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

【解析】解法一：

（1）设相遇时小艇航行的距离为Snmile，则

S＝

＝＝，

故当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30.

即小艇以30nmile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

解法二：

（1）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．

设小艇与轮船在C处相遇．

在Rt△OAC中，OC＝20cos30°

＝10，AC＝20sin30°

＝10.

又AC＝30t，OC＝vt，

此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝30.

（2）假设v＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD＝DO＝30t.

又∠OAD＝60°

，所以AD＝DO＝OA＝20，解得t＝.

据此可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°

，航行速度的大小为30nmile/h.这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．

证明如下：

如图，由

（1）得OC＝10，AC＝10，

故OC>

AC，且对于线段AC上任意点P，有OP≥OC>

AC.

而小艇的最高航行速度只能达到30nmile/h，故小艇与轮船不可能在A，C之间（包含C）的任意位置相遇．

设∠COD＝θ（0°

<

θ<

90°

），则在Rt△COD中，

CD＝10tanθ，OD＝.

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t＝和t＝，所以＝.

由此可得，v＝.

又v≤30，故sin（θ＋30°

）≥，从而，30°

≤θ<

由于θ＝30°

时，tanθ取得最小值，且最小值为.

于是，当θ＝30°

时，t＝取得最小值，且最小值为.

考点2测量高度问题

【2-1】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°

，30°

，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：

sin67°

≈0.92，cos67°

≈0.39，sin37°

≈0.60，cos37°

≈0.80，≈1.73）

【答案】60

【解析】如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D.

在Rt△ADC中，由AD＝46m，∠ACB＝30°

得AC＝92m.

在△ABC中，∠BAC＝67°

－30°

＝37°

，∠ABC＝180°

－67°

＝113°

，AC＝92m，

由正弦定理＝，

得＝，即＝，

解得BC＝≈60m.

【2-2】要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°

，在D点测得塔顶A的仰角是30°

，并测得水平面上的∠BCD＝120°

，CD＝40m，求电视塔的高度．

【答案】B

【2-3】如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD（CD所在的直线与地平面垂直）对于山坡的斜度为α，从A处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ.

（1）求BC的长；

（2）若l＝24，α＝15°

，β＝45°

，θ＝30°

，求建筑物CD的高度．

（1）；

（2）.

【解析】　

（1）在中，，根据正弦定理得，

所以.

（2）由

（1）知米．

在中，，，

根据正弦定理得，

所以米．

【2-4】如图所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．

【答案】6

【解析】

过C作CF⊥AB于点F，设∠ACB＝α，∠BCF＝β，

由已知得AB＝－＝5（米），BF＝－＝4（米），AF＝－＝9（米）．

则tan（α＋β）＝＝，tanβ＝＝，

∴tanα＝[（α＋β）－β]＝＝＝≤＝.

当且仅当FC＝，即FC＝6时，tanα取得最大值，

此时α取得最大值．

【变式一】如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.

【变式二】如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高.

【解析】在中，，由正弦定理得，所以.

在中，.

考点3测量角度问题

【3-1】如右图所示，位于A处的信息中心获悉：

在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°

，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．

【3-2】如图，扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB为，半径OA为1km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段DB组成，其中D在线段OB上，且CD∥AO.设∠AOC＝θ.

（1）用