高考数学总复习教师用书第4章 第6讲 正弦定理和余弦定理Word格式.docx

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3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinA<

a<

b

a≥b

a>

a≤b

解的个数

一解

两解

无解

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×

”）

（1）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.（　　）

（2）在△ABC中，若sinA>

sinB，则A>

B.（　　）

（3）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.（　　）

（4）当b2＋c2－a2>

0时，△ABC为锐角三角形；

当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；

当b2＋c2－a2<

0时，△ABC为钝角三角形.（　　）

（5）在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.（　　）

解析　

（1）三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.

（3）已知三角时，不可求三边.

0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.

答案　

（1）×

（2）√　（3）×

　（4）×

　（5）√

2.（2016·

全国Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝（　　）

A.B.C.2D.3

解析　由余弦定理，得5＝b2＋22－2×

b×

2×

，解得b＝3，故选D.

答案　D

3.（2017·

湖州预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB＝（　　）

A.－B.

C.－D.

解析　由正弦定理知＝＝1，即tanB＝，由B∈（0，π），所以B＝，所以cosB＝cos＝，故选B.

答案　B

4.在△ABC中，A＝60°

，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为（　　）

A.B.

C.2D.2

解析　因为S＝×

AB×

ACsinA＝×

AC＝，所以AC＝1，

所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·

ACcos60°

＝3，

所以BC＝.

5.（必修5P10B2改编）在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________.

解析　由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，

即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，

即A＝B或A＋B＝，

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.

答案　等腰三角形或直角三角形

6.（2017·

绍兴调研）已知钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝，则角B＝________，AC＝________.

解析　∵钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝，

∴＝×

1×

×

sinB，解得sinB＝，∴B＝或，

∵当B＝时，由余弦定理可得

AC＝

＝＝1，

此时，AB2＋AC2＝BC2，可得A＝，此△ABC为直角三角形，与已知矛盾，舍去.

∴B＝，由余弦定理可得AC＝

＝＝.

答案　　

考点一　利用正、余弦定理解三角形

【例1】

（1）在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°

，则满足条件的三角形有（　　）

A.1个B.2个

C.0个D.无法确定

（2）在△ABC中，已知sinA∶sinB＝∶1，c2＝b2＋bc，则三内角A，B，C的度数依次是________.

（3）（2015·

广东卷）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.

解析　

（1）∵bsinA＝×

＝，∴bsinA<

b.

∴满足条件的三角形有2个.

（2）由题意知a＝b，a2＝b2＋c2－2bccosA，

即2b2＝b2＋c2－2bccosA，又c2＝b2＋bc，

∴cosA＝，∵A∈（0°

，180°

），∴A＝45°

，sinB＝，又B∈（0°

），b＜a，∴B＝30°

，∴C＝105°

.

（3）因为sinB＝且B∈（0，π），所以B＝或B＝.

又C＝，B＋C<

π，所以B＝，A＝π－B－C＝.

又a＝，由正弦定理得＝，即＝，

解得b＝1.

答案　

（1）B　

（2）45°

，30°

，105°

　（3）1

规律方法　

（1）判断三角形解的个数的两种方法

①代数法：

根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.

②几何图形法：

根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.

（2）已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.

【训练1】

（1）（2017·

金华模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°

，则边c＝（　　）

A.1B.2C.4D.6

（2）（2016·

全国Ⅱ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.

解析　

（1）a2＝c2＋b2－2cbcosA⇒13＝c2＋9－2c×

3×

cos60°

，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1（舍去）.

（2）在△ABC中，由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC＝，由正弦定理得b＝＝.

答案　

（1）C　

（2）

考点二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状（典例迁移）

【例2】（经典母题）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（　　）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不确定

解析　由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，

∴sin（B＋C）＝sin2A，即sin（π－A）＝sin2A，sinA＝sin2A.

∵A∈（0，π），∴sinA>

0，∴sinA＝1，即A＝.

【迁移探究1】将本例条件变为“若2sinAcosB＝sinC”，那么△ABC一定是（　　）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

解析　法一　由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin（A－B）＝0，因为－π<

A－B<

π，所以A＝B.

法二　由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·

＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.

【迁移探究2】将本例条件变为“若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13”，则△ABC（　　）

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

解析　在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，

∴a∶b∶c＝5∶11∶13，

故设a＝5k，b＝11k，c＝13k（k>

0），由余弦定理可得

cosC＝＝＝－<

0，

又∵C∈（0，π），∴C∈，∴△ABC为钝角三角形.

答案　C

【迁移探究3】将本例条件变为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC”，试确定△ABC的形状.

解　法一　利用边的关系来判断：

由正弦定理得＝，

由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝＝.

又由余弦定理得cosA＝，

∴＝，

即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.

又∵a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，

∴b＝c，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形.

法二　利用角的关系来判断：

∵A＋B＋C＝180°

，∴sinC＝sin（A＋B），

又∵2cosAsinB＝sinC，

∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，

∴sin（A－B）＝0，

又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.

又由a2＋b2－c2＝ab，

由余弦定理，得cosC＝＝＝，

又0°

<

C<

180°

，所以C＝60°

，∴△ABC为等边三角形.

规律方法　

（1）判定三角形形状的途径：

①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正（余）弦定理是转化的桥梁.

（2）无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

考点三　和三角形面积有关的问题

【例3】（2016·

全国Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB＋bcosA）＝c.

（1）求C；

（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.

解　

（1）由已知及正弦定理得，2cosC（sinAcosB＋sinB·

cosA）＝sinC，2cosCsin（A＋B）＝sinC，

故2sinCcosC＝sinC.由C∈（0，π）知sinC≠0，

可得cosC＝，所以C＝.

（2）由已知，absinC＝，又C＝，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.所以△ABC的周长为5＋.

规律方法　三角形面积公式的应用原则

（1）对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.

（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

【训练2】（2017·

日照模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2a－b）cosC－ccosB＝0.

（1）求角C的值；

（2）若三边a，b，c满足a＋b＝13，c＝7，求△ABC的面积.

解　

（1）根据正弦定理，（2a－b）cosC－ccosB＝0可化为（2sinA－sinB）cosC－sinCcosB＝0.

整理得2sinAcosC＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin（B＋C）＝sinA.

∵0<

A<

π，∴sinA≠0，∴cosC＝.

又∵0<

π，∴C＝.

（2）由

（1）知cosC＝，又a＋b＝13，c＝7，

∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝（a＋b）2－3ab＝169－3ab＝49，

解得ab＝40.

∴S△ABC＝absinC＝×

40×

sin＝10.

[思想方法]

1.应熟练掌握和运用内角和