初中奥数系列实数与二次根式B级第01讲学生版Word文档下载推荐.docx
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及其运用.
4.二次根式乘除法的规定及其运用.
5.二次根式的加减运算.
模块一实数的概念及分类
1.实数的概念
实数:
有理数和无理数的统称.
2.实数的分类
注意:
(1)实数还可按正数,零,负数分类.
(2)整数可分为奇数,偶数,零是偶数,偶数一般用2n(n为整数)表示;
奇数一般用2n或2n(n为整数)表示.
(3)正数和零常称为非负数.
(4)带根号的数不一定是无理数,如.
【例1】下列实数,,,,,中无理数有().
A.个B.个C.个D.个
【巩固】有下列说法:
(1)无理数就是开方开不尽的数;
(2)无理数是无限不循环小数;
(3)无理数包括正无理数、零、负无理数;
(4)无理数都可以用数轴上的点来表示.
其中正确的说法的个数是()
A.1B.2C.3D.4
模块二数轴、相反数、倒数、绝对值
数轴:
规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫数轴.
相反数:
只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0.
(1)实数a的相反数是.
(2)实数a和b互为相反数,则a+b=0.
(3)从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.
倒数:
乘积为1的两个有理数互为倒数;
0没有倒数.倒数等于它本身的数是±
1.
(1)实数a(a≠0)的倒数是.
(2)a和b互为倒数,则ab=1.
绝对值:
(1)绝对值的含义与性质:
(2)几何意义:
实数的绝对值是一个非负数,在数轴上,表示数的点到原点的距离.
实数和数轴上的点一一对应,平面直角坐标系内的点与一对有序实数一一对应,对二者要加以区分,不能混淆.
【例2】若直径为2个单位长度的圆上的点A从表示的点沿数轴向右滚动两周,圆上这一点到达另一点B,则B点表示的实数是()
A.B.C.D.
【例3】的相反数是.
【例4】的倒数是.
【例5】的绝对值是.
【巩固】的相反数是;
倒数是;
绝对值是.
模块三实数的大小比较
利用数轴比较大小
因为数轴上右边的点表示的数,总是比左边的点表示的数大,所以负数小于0,0小于正数,负数小于正数.
利用绝对值比较大小
两个正数比较大小,绝对值大的较大;
两个负数比较大小,绝对值大的反而小.
利用作差法比较大小
设a、b是任意两实数,若,则;
若,则;
若,则.
4利用作商法比较大小
设a、b是任意两同号实数,当a,b都为负数时,若,则;
若,则.
【例6】如果是的整数部分,是的小数部分,=.
【巩固】估计的值在()
A.在和之间
B.在和之间
C.在和之间
D.在和之间
【巩固】已知为两个连续整数,且,则_______.
【例7】若则,,,这四个数有下列关系()
A.B.
C.D.
【巩固】、、15三个数的大小关系是()
A.15B.15
C.15D.15
模块四实数的运算
1.运算律
加法交换律a+b=b+a
加法结合律
乘法交换律ab=ba
乘法结合律
分配律a(b+c)=ab+ac
关于有理数的运算律和运算性质,在进行实数运算时仍然成立.
2.混合运算的运算顺序:
先算乘方,再算乘除,最后算加减;
如果有括号,先算括号里面的.
【例8】化简:
(1)
(2)
(3)
【例9】已知等腰三角形一边长为,一边长,且.求它的周长.
模块五近似数、有效数字和科学记数法
1.近似数:
将一个数四舍五入所得到的数.
2.有效数字:
一个近似数从左边第一个不是零的数字起,到精确的数位为止,所有的数字都叫做这个近似数的有效数字.
3.科学记数法:
把一个数表示成的形式,其中,n为整数.
用科学计数法表示的数,其有效数字只与a有关,就是a的有效数字;
精确度却和a、10有关,是a的精确度乘所得的结果.如有三个有效数字,分别是4,3,0;
4.30精确到0.01,,故精确到千位.
【例10】我国第六次全国人口普查数据显示,居住在城镇的人口总数达到665575306人,将665575306用科学记数法表示(保留三个有效数字)约为()
A.B.C.D.
【例11】指出下列各近似值精确到哪一位:
(1);
(2);
(3);
(4)万
【例12】指出下列近似数有几个有效数字:
(3)万;
(4)
模块六平方根、算术平方根、立方根
平方根:
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,记作,正数有两个平方根,负数没有平方根,0的平方根是0.
算术平方根:
正数a的正平方根,记作;
0的算术平方根为0.
立方根:
如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根,记作,正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根是0.
(1)当被开方数扩大(或缩小)倍,它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍().
(2)平方根和算术平方根与被开方数之间的关系:
①若,则;
②不管为何值,总有
(3)若一个非负数介于另外两个非负数、之间,即时,它的算术平方根也
介于、之间,即:
利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围.
【例13】的平方根是()
A.81B.C.3D.
【例14】若与是同一个正数的平方根,则m为()
A.B.1C.1D.或1
【巩固】若,则的平方根是;
若,则.
【例15】一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是().
【巩固】设是整数,则使为最小正有理数的的值是.
【例16】若,则_____.
【例17】已知的平方根是,的立方根是,求的算数平方根.
【巩固】已知是的算术平方根,是的立方根,求B+A的平方根.
【巩固】已知,(),且(),,求的值.
【例18】若,求的值.
【例19】已知数的小数部分是,求.
模块七二次根式的基本概念及化简
一、二次根式概念
二次根式的概念:
形如()的式子叫做二次根式.
二次根式的基本性质:
⑴()双重非负性;
⑵();
⑶
【例20】设,求使有意义的的取值范围.
【巩固】当时,有意义.
【例21】在实数范围成立,那么的值是多少?
【巩固】若适合关系式,试确定的值.
【例22】化简:
()
【巩固】设,则=__________.
二、二次根式的乘除
最简二次根式:
二次根式()中的称为被开方数.满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式:
⑴被开放数的因数是整数,因式是整式(被开方数不能存在小数、分数形式)
⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
⑶分母中不含二次根式
二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.
二次根式的乘法法则:
(,)
二次根式的除法法则:
利用这两个法则时注意、的取值范围,对于,、都非负,否则不成立,
如
【例23】已知,化简二次根式的正确结果为()
【巩固】化简二次根式的结果是.
【例24】化简所得的结果是()
A.B.
C.D.
【巩固】计算的结果是.
【例25】计算
(1)
(2)
(3)(4)
同类二次根式:
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式.
分母有理化:
把分母中的根号化去叫做分母有理化.
互为有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,说这两个代数式互为有理化因式.
与互为有理化因式;
分式有理化时,一定要保证有理化因式不为0.
【例26】若最简根式和是同类二次根式,则m=,n=..
【例27】方程的整数解有组.
【例28】当时,代数式的值是.
【练习1】若,则估计m的取值范围.
【练习2】阅读下面数学领域的滑稽短剧,你觉得结果2=3荒谬吗?
找出它们错误的根源吗?
第一幕:
第二幕:
等式两边同时加,
第三幕:
上式变形,得
第四幕:
利用,得到:
第五幕:
两边开平方,得
第六幕:
两边加上,得到等式!
【练习3】,求,的值.
【练习】阅读下列解题过程:
请回答下列问题:
(1)观察上面解题过程,请直接写出的结果为__________________.
(2)利用上面所提供的解法,请化简:
.
【练习5】当n为整数时,证明是一个整数.
1.通过本堂课你学会了.
2.掌握的不太好的部分.
3.老师点评:
①.
②.
③.
1.把根号外的因式移到根号内得()
2.已知整数x、y满足那么整数对(x,y)的个数是()
A.0B.1C.2D.3
3.设都是实数,且,,,那么化简为()
A.B.C.D.
4.设、为实数,且,求的值
5.化简下列各式
(1)(,)
(2)(,)
6.请你观察、思考下列计算过程
由此猜想:
.
7.计算: