初中奥数系列实数与二次根式B级第01讲学生版Word文档下载推荐.docx
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及其运用．
4.二次根式乘除法的规定及其运用．
5.二次根式的加减运算．
模块一实数的概念及分类
1．实数的概念
实数：
有理数和无理数的统称．
2．实数的分类
注意：
（1）实数还可按正数，零，负数分类．
（2）整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n（n为整数）表示；
奇数一般用2n或2n（n为整数）表示．
（3）正数和零常称为非负数．
（4）带根号的数不一定是无理数，如．
【例1】下列实数，，，，，中无理数有（）．
A．个B．个C．个D．个
【巩固】有下列说法：
（1）无理数就是开方开不尽的数；
（2）无理数是无限不循环小数；
（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；
（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．
其中正确的说法的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
模块二数轴、相反数、倒数、绝对值
数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫数轴.
相反数：
只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.
（1）实数a的相反数是.
（2）实数a和b互为相反数，则a+b=0.
（3）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.
倒数：
乘积为1的两个有理数互为倒数；
0没有倒数.倒数等于它本身的数是±
1.
（1）实数a（a≠0）的倒数是.
（2）a和b互为倒数，则ab=1.
绝对值：
（1）绝对值的含义与性质：
（2）几何意义：
实数的绝对值是一个非负数，在数轴上，表示数的点到原点的距离.
实数和数轴上的点一一对应，平面直角坐标系内的点与一对有序实数一一对应，对二者要加以区分，不能混淆.
【例2】若直径为2个单位长度的圆上的点A从表示的点沿数轴向右滚动两周，圆上这一点到达另一点B，则B点表示的实数是（）
A．B．C．D．
【例3】的相反数是．
【例4】的倒数是．
【例5】的绝对值是．
【巩固】的相反数是；
倒数是；
绝对值是．
模块三实数的大小比较
利用数轴比较大小
因为数轴上右边的点表示的数，总是比左边的点表示的数大，所以负数小于0，0小于正数，负数小于正数.
利用绝对值比较大小
两个正数比较大小，绝对值大的较大；
两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
利用作差法比较大小
设a、b是任意两实数，若,则;
若,则;
若,则.
4利用作商法比较大小
设a、b是任意两同号实数，当a，b都为负数时，若,则；
若,则.
【例6】如果是的整数部分，是的小数部分，=．
【巩固】估计的值在（）
A．在和之间
B．在和之间
C．在和之间
D．在和之间
【巩固】已知为两个连续整数，且，则_______．
【例7】若则，，，这四个数有下列关系（）
A.B.
C.D.
【巩固】、、15三个数的大小关系是（）
A.15B.15
C.15D.15
模块四实数的运算
1.运算律
加法交换律a+b=b+a
加法结合律
乘法交换律ab=ba
乘法结合律
分配律a（b+c）=ab+ac
关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立.
2.混合运算的运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减；
如果有括号，先算括号里面的.
【例8】化简：
（1）
（2）
（3）
【例9】已知等腰三角形一边长为，一边长，且．求它的周长．
模块五近似数、有效数字和科学记数法
1.近似数：
将一个数四舍五入所得到的数．
2.有效数字：
一个近似数从左边第一个不是零的数字起，到精确的数位为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．
3.科学记数法：
把一个数表示成的形式，其中,n为整数．
用科学计数法表示的数，其有效数字只与a有关，就是a的有效数字；
精确度却和a、10有关，是a的精确度乘所得的结果.如有三个有效数字，分别是4,3,0；
4.30精确到0.01，，故精确到千位.
【例10】我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665575306人，将665575306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（）
A．B．C．D．
【例11】指出下列各近似值精确到哪一位：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）万
【例12】指出下列近似数有几个有效数字：
（3）万；
（4）
模块六平方根、算术平方根、立方根
平方根：
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作，正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0.
算术平方根：
正数a的正平方根，记作;
0的算术平方根为0.
立方根：
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，记作,正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
（1）当被开方数扩大（或缩小）倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）倍（）．
（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：
①若，则；
②不管为何值，总有
（3）若一个非负数介于另外两个非负数、之间，即时，它的算术平方根也
介于、之间，即：
利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围．
【例13】的平方根是（）
A．81B．C．3D．
【例14】若与是同一个正数的平方根，则m为（）
A．B．1C．1D．或1
【巩固】若，则的平方根是；
若，则.
【例15】一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）．
【巩固】设是整数，则使为最小正有理数的的值是．
【例16】若，则_____.
【例17】已知的平方根是，的立方根是，求的算数平方根．
【巩固】已知是的算术平方根，是的立方根，求B+A的平方根．
【巩固】已知，（），且（），，求的值.
【例18】若，求的值．
【例19】已知数的小数部分是，求．
模块七二次根式的基本概念及化简
一、二次根式概念
二次根式的概念：
形如（）的式子叫做二次根式．
二次根式的基本性质：
⑴（）双重非负性；
⑵（）；
⑶
【例20】设，求使有意义的的取值范围.
【巩固】当时，有意义．
【例21】在实数范围成立，那么的值是多少？
【巩固】若适合关系式，试确定的值.
【例22】化简：
（）
【巩固】设，则=__________.
二、二次根式的乘除
最简二次根式：
二次根式（）中的称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：
⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）
⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
⑶分母中不含二次根式
二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．
二次根式的乘法法则：
（，）
二次根式的除法法则：
利用这两个法则时注意、的取值范围，对于，、都非负，否则不成立，
如
【例23】已知，化简二次根式的正确结果为（）
【巩固】化简二次根式的结果是．
【例24】化简所得的结果是（）
A．B．
C．D．
【巩固】计算的结果是．
【例25】计算
（1）
（2）
（3）（4）
同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
分母有理化：
把分母中的根号化去叫做分母有理化．
互为有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．
与互为有理化因式；
分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．
【例26】若最简根式和是同类二次根式，则m＝，n＝．.
【例27】方程的整数解有组.
【例28】当时，代数式的值是．
【练习1】若，则估计m的取值范围．
【练习2】阅读下面数学领域的滑稽短剧,你觉得结果2=3荒谬吗?
找出它们错误的根源吗?
第一幕：
第二幕：
等式两边同时加，
第三幕：
上式变形，得
第四幕：
利用，得到：
第五幕：
两边开平方，得
第六幕：
两边加上，得到等式！
【练习3】，求，的值.
【练习】阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
（1）观察上面解题过程,请直接写出的结果为__________________．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
．
【练习5】当n为整数时，证明是一个整数．
1.通过本堂课你学会了．
2.掌握的不太好的部分．
3.老师点评：
①．
②．
③．
1.把根号外的因式移到根号内得（）
2.已知整数x、y满足那么整数对（x，y）的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
3.设都是实数，且，，，那么化简为（）
A．B．C．D.
4.设、为实数，且，求的值
5.化简下列各式
（1）（，）
（2）（，）
6.请你观察、思考下列计算过程
由此猜想：
．
7.计算：
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