完整版北师大八年级上册第一章勾股定理全章复习与巩固提高Word格式文档下载.docx
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(1)首先确定最大边,不妨设最大边长为;
(2)验证:
与是否具有相等关系:
若,则△ABC是以∠C为90°
的直角三角形;
若时,△ABC是锐角三角形;
若时,△ABC是钝角三角形.
2.勾股数
满足不定方程的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以为三边长的三角形一定是直角三角形.
常见的勾股数:
①3、4、5;
②5、12、13;
③8、15、17;
④7、24、25;
⑤9、40、41.
如果()是勾股数,当t为正整数时,以为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数,它们具有以下特征:
1.较小的直角边为连续奇数;
2.较长的直角边与对应斜边相差1.
3.假设三个数分别为,且,那么存在成立.(例如④中存在=24+25、=40+41等)
要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别:
勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;
联系:
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,两者互为逆定理,都与直角三角形有关.
【典型例题】
类型一、勾股定理及逆定理的应用
1、如图所示,等腰直角△ABC中,∠ACB=90°
,E、F为AB上两点(E左F右),且∠ECF=45°
,求证:
.
【思路点拨】由于∠ACB=90°
,∠ECF=45°
,所以∠ACE+∠BCF=45°
,若将∠ACE和∠BCF合在一起则为一特殊角45°
,于是想到将△ACE旋转到△BCF的右外侧合并,或将△BCF绕C点旋转到△ACE的左外侧合并,旋转后的BF边与AE边组成一个直角,联想勾股定理即可证明.
【答案与解析】
解:
(1),理由如下:
将△BCF绕点C旋转得△ACF′,使△BCF的BC与AC边重合,
即△ACF′≌△BCF,
∵在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,
∴∠CAF′=∠B=45°
,∴∠EAF′=90°
.
∵∠ECF=45°
,∴∠ACE+∠BCF=45°
∵∠ACF′=∠BCF,∴∠ECF′=45°
在△ECF和△ECF′中
∴△ECF≌△ECF′(SAS),∴EF=EF′.
在Rt△AEF′中,,
∴.
【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角,(如平角内含直角,90°
角内含45°
角,120°
角内含60°
角),则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角,然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题.
举一反三:
【变式】已知凸四边形ABCD中,∠ABC=30°
,∠ADC=60°
,AD=DC,
求证:
【答案】
将△ABD绕点D顺时针旋转60°
由于DC=AD,故点A转至点C.点B转至点E,连结BE.
∵BD=DE,∠BDE=60°
∴△BDE为等边三角形,BE=BD
易证△DAB≌△DCE,∠A=∠2,CE=AB
∵四边形ADCB中∠ADC=60°
,∠ABC=30°
∴∠A+∠1=360°
-60°
-30°
=270°
∴∠1+∠2=∠1+∠A=270°
∴∠3=360°
-(∠1+∠2)=90°
∴
∴
2、如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度数.
如图,做∠ECB=∠PCA,且使CE=CP,连结EP,EB
在△APC和△BEC中
∴△APC≌△BEC
∴△PCE为等腰直角三角形
∴∠CPE=45°
,PE2=PC2+CE2=8
又∵PB2=1,BE2=9
∴PE2+PB2=BE2
则∠BPE=90°
∴∠BPC=135°
【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理,通过观察所要求的角度,作出辅助线,把PA、PB、PC的长度转化为一个三角形三条边,构造出直角三角形是解题的关键,当然此题也可以利用旋转的思想来解,即将△APC绕点C旋转,使CA与CB重合即△APC≌△BEC.
类型二、勾股定理及逆定理的综合应用
3、(2016春•丰城市期末)如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°
,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.
【思路点拨】连接AC,在直角三角形ABC中,由AB及BC的长,利用勾股定理求出AC的长,再由AD及CD的长,利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形,根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积,即可求出四边形的面积.
连接AC,如图所示:
∵∠B=90°
,
∴△ABC为直角三角形,
又∵AB=3,BC=4,
∴根据勾股定理得:
AC2=25,
又∵CD=12,AD=13,
∴AD2=132=169,CD2+AC2=122+52=144+25=169,
∴CD2+AC2=AD2,
∴△ACD为直角三角形,∠ACD=90°
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD=×
3×
4+×
5×
12=36.
故四边形ABCD的面积是36.
【总结升华】此题考查了勾股定理,以及勾股定理的逆定理,熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键.
4、如图:
正方形ABCD中,E是DC中点,F是EC中点.求证:
∠BAF=2∠EAD.
证明:
取BC中点G,连结AG并延长交DC延长线于H
∵∠ABG=∠HCG,BG=CG,∠AGB=∠HGC
∴△GAB≌△HCG
∴∠GAB=∠H,AB=CH
又∵AB=AD,∠B=∠D,BG=DE
∴△ABG≌△ADE
∴∠GAB=∠DAE
在中,设,由勾股定理得:
又
∴AF=HF
∴∠FAH=∠H
∴∠FAH=∠DAE
∴∠BAF=2∠DAE
【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD,一般方法是在∠BAF中取一个角使之等于∠EAD,再证明另一个角也等于∠EAD,另一种方法是把小角扩大一倍,看它是否等于较大的角.
【变式】
(2014春•防城区期末)如图所示,在△ABC中,AB:
BC:
CA=3:
4:
5,且周长为36cm,点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动;
点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动,如果同时出发,问过3秒时,△BPQ的面积为多少?
设AB为3xcm,BC为4xcm,AC为5xcm,
∵周长为36cm,
AB+BC+AC=36cm,
∴3x+4x+5x=36,
得x=3,
∴AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm,
∵AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,
过3秒时,BP=9﹣3×
1=6(cm),BQ=2×
3=6(cm),
∴S△PBQ=BP•BQ=×
(9﹣3)×
6=18(cm2).
故过3秒时,△BPQ的面积为18cm2.
类型三、勾股定理的实际应用
5、如图所示,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC=400米,BD=200米,CD=800米,牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家.试问在何处饮水,所走路程最短?
最短路程是多少?
【思路点拨】作点A关于直线CD的对称点G,连接GB,交CD于点E,利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水,再根据对称性知GB的长为所走的最短路程,然后构造直角三角形,利用勾股定理可解决.
作点A关于直线CD的对称点G,连接GB交CD于点E,由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水,所走路程最短.说明如下:
在直线CD上任意取一异于点E的点I,连接AI、AE、BE、BI、GI、GE.
∵点G、A关于直线CD对称,∴AI=GI,AE=GE.
由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI+BI>GB=AE+BE,于是得证.
最短路程为GB的长,自点B作CD的垂线,自点G作BD的垂线交于点H,在直角三角形GHB中,
∵GH=CD=800,BH=BD+DH=BD+GC=BD+AC=200+400=600,
∴由勾股定理得.
∴GB=1000,即最短路程为1000米.
【总结升华】这是一道有关极值的典型题目.解决这类题目,一方面要考虑“两点之间线段最短”;
另一方面,证明最值,常常另选一个量,通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明,如本题中的I点.本题体现了勾股定理在实际生活中的应用.
【变式】如图所示,正方形ABCD的AB边上有一点E,AE=3,EB=1,在AC上有一点P,使EP+BP最短.求EP+BP的最小值.
根据正方形的对称性可知:
BP=DP,连接DE,交AC于P,ED=EP+DP=EP+BP,
即最短距离EP+BP也就是ED.
∵AE=3,EB=1,∴AB=AE+EB=4,
∴AD=4,根据勾股定理得:
.
∵ED>0,∴ED=5,∴最短距离EP+BP=5.
6、台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心,在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力.如图台风中心在我国台湾海峡的B处,在沿海城市福州A的正南方向240千米,其中心风力为12级,每远离台风中心25千米,台风就会减弱一级,如图所示,该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°
方向向C移动,且台风中心的风力不变,若城市所受风力达到或超过4级,则称受台风影响.试问:
(1)该城市是否会受到台风影响?
请说明理由.
(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?
(1)该城市会受到台风影响.
理由:
如图,过点A作AD⊥BC于D点,
则AD即为该城市距离台风中心的最短距离.
在Rt△ABD中,因为∠B=30°
,AB=240.
∴AD==×
240=120(千米).
由题可知,距台风中心在(12-4)×
25=200(千米)以内时,则会受到台风影响.
因为120<200,因此该城市将会受到影响.
(2)依题
(1)可知,当点A距台风中心不超过200千米时,会受台风影响,故在BC上作AE=AF=200;
台风中心从点E移动到点F处时,该城市会处在台风影响范围之内.(如图)
由勾股定理得,
DE=160(千米).
所以EF=2×
160=320(千米).
又知台风中心以20千米/时的速度移动.
所以台风影响该城市320÷
20=16(小时).
(3)∵AD距台风中心最