4线性规划问题的影子价格研究解析Word下载.docx

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5.1主要发现11

5.2启示和意义12

5.3局限性12

5.4努力方向12

参考文献13

1引言

线性规划是数学与运筹学的一个分支，是运筹学中最基本的也是最常用的一种方法，也是现代管理中应用最为广泛的一种数学模型.在线性规划的实际解题过程中，会出现技术系数与约束右端项有最大公约数的情况，在计算过程中就可将其约去，但这样的简单计算是否会对线性规划问题产生影响呢.本文借助线性规划原问题与对偶问题的性质，通过实例，对技术系数与约束右端项改变前后进行计算对比，指出它们的改变会影响影子价格.

2文献综述

2.1国外研究现状

在所查阅的国外参考文献[1-17]中，有不少的文章论述到线性规划中的影子价格，并对影子价格的各方面都有所研究.如白云在文献[2]、[3]中对互为对偶的两个线性规划问题，基解的不对称性产生的矛盾对影子价格进行确定，并讨论了在原线性规划问题有多个最优解情况下影子价格的计算方法；

夏少刚，费威在文献[4]中对线性规划问题中目标函数系数、约束右端项及系数矩阵同时变化做了灵敏度分析；

王龙在文献[5]中阐述了影子价格的涵及应用；

马赞甫、凯在文献[6]中介绍的影子价格的特征及其计算；

马赞甫在文献[7]中针对线性规划对偶问题最优解的非单一性，从影子价格与会计价格之间的区别、影子价格机会成本定义的区别、组合影子价格与单一影子价格的区别三个方面解释线性规划中影子价格的“非唯一性”；

吴汉洪、徐国兴在文献[8]中论证了影子价格定义的统一性，说明其经济学含义；

任立民在文献[9]中将影子价格理论应用在资源利用、投资决策方面；

林志红在文献[10]中解释了影子价格的经济学意义,并分析其在资源配置中的关键作用,为解决实际问题起到一定的作用；

耿鹏翔在文献[11]中将影子价格应用在企业经济分析中；

董绍斌在文献[12]中等探讨了一些关于影子价格理论应用的不正确提法,提出影子价格的新涵；

吴纯洁在文献[13]中合影子价格对偶线性规划问题进行讨论；

段德财在文献[14]中将影子价格应用在产品生产决策中；

王松林在文献[15]中等基于对偶线性规划模型对影子水价进行计算等等.

2.2国外研究现状评价

荷兰经济学家詹恩·

丁伯根在本世纪30年代末首次提出影子价格，并运用线性规划的数学方法进行计算，指出影子价格是反映社会资源获得最佳配置的一种价格.前联经济学家康托洛维奇根根据当时联经济发展状况和商品合理计价的要求，提出了最优价格理论.二者提出的容基本是相同的，但前者的理论被人们看成一种经济管理方法，后者是作为一种价格形成理论.国主要是对影子价格的定义、特征、计算及其应用等进行研究，并说明在经济领域影子价格在产品生产决策中的运用.

2.3提出问题

对于线性规划问题:

=

存在这样的情形：

=

可将其转化为：

=

显然，两个线性规划问题中的技术系数和约束右端项已经发生了变化，于是就有如下问题：

⑴当技术系数和约束右端项发生变化时，对原线性规划问题有无影响？

结果如何？

⑵在上述的变化和结果下，对影子价格又有何影响？

3技术系数与约束右端项不发生改变

3.1线性规划原问题与对偶问题及其性质

假定原问题及对偶问题为对称形式线性规划问题，即原问题为：

=

其对偶问题为：

原问题与对偶问题联系紧密，相关参数都有重要的实际意义：

原问题可看作现有资源约束条件下的最优生产计划问题，为第种资源的限制量；

为生产第种产品对第种资源的消耗系数；

为第种产品的单位利润；

为第种产品的产量.对偶问题可看作资源被最优利用时的影子价格问题，其中最优解为第种资源的影子价格.

线性规划问题具有以下性质：

①基可行解（可行域极点）有有限个；

②若有最优解，一定可在基可行解中找到（称之为基最优解或最优基解）；

③任意两个最优解的凸组合仍是最优解；

④互为对偶的线性规划问题当且仅当一个有最优解时，另一个也有最优解，它们最优解对应的目标函数值相等.

单纯形法是求解线性规划最方便有效的方法，而且通过求解一个问题，同时得到互为对偶的两个线性规划问题的解.在利用单纯形法求解时，对于有不等式约束的问题，需引入松弛变量将约束条件化为等式，对于目标函数极小化问题，可将目标函数极大化，取s′=-s将目标函数变为求s′极大值，必须将所有线性规划问题都化为等式约束、目标极大化、自变量非负的如下标准形式：

对标准形式的线性规划问题，单纯形法求解的判定方法是，若基同时满足：

1′（基的可行性条件）.

2′（对偶可行性条件，不等式左端称为基的检验数），则断定基为最优基，对应基解（假设基变量排在前面）为原问题的最优解，对应对偶基解为对偶问题的最优解.

当线性规划原问题求得最优解时，其对偶问题也得到最优解，且代入各自目标函数后有

①资源的市场价格是其价值的客观体现，相对比较稳定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情况，是未知数.因企业生产任务、产品结构等发生变化，资源的影子价格也随之改变.②影子价格是一种边际价格，在式⑴中对求的偏导数得.这说明的值相当于在资源得到最优利用的生产条件下，每增加一个单位时目标函数的增量.③资源的影子价格实际上又是一种机会成本.在完全市场经济条件下，当资源的市场价格低于影子价格时，可以买进这种资源；

相反，当市场价格高于影子价格时，就会卖出这种资源.随着资源的买进卖出，它的影子价格也随之发生变化，一直到影子价格与市场价格保持在同等水平时，才处于平衡状态.

3.2具体应用

例1某公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品.已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试工序时间及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1所示.问该公司应制造这两种家电多少件，是获取的利润最大.

表1

项目

Ⅰ

Ⅱ

每天可用能力

设备A（h）

设备B（h）

调试工序（h）

6

1

5

2

15

24

利润（元）

解：

用变量和分别表示美佳公司制造家电Ⅰ和Ⅱ的数量，该公司可获取的利润为元，令，因问题中要求获取的利润为最大，即.因此，数学模型可表为：

用单纯形法求解上述问题，先将其化为标准形式有：

其约束条件系数矩阵的增广矩阵为

，，是单位矩阵，构成一个基，对应变量是基变量.令非基变量等于零，即找到一个初始基可行解

以此列出单纯形表，见表2.

表2

基

由单纯形法解得此问题的基可行解为最优解，代入目标函数得.

问题（）的对偶问题为：

将两个问题的最终单纯形表分别表出，见表3,表4.

表3

项目

原问题变量

原问题松弛变量

变量

对偶问题的剩余变量

对偶问题变量

表4

对偶问题剩余变量

3.3影子价格的确定

由原问题与对偶问题的最终单纯形表2和3知，资源设备A的影子价格=0，设备B的影子价格，调试工序的影子价格.

设备A的影子价格为0说明增加设备A的工作时间不会增加总产值，理由是，设备A的松弛变量，表示此种资源还有个单位的剩余，因此，增加资源设备A的工作时长不会带来任何经济利益，只会增加更多的剩余.

设备B的影子价格为，则设备B的工作时间增加一个单位时，最优值也会增加个单位，即.

如果设备A、B都没有变化，而调试工序的时间增加一个单位，从影子价格可知总产值的增加量为，总产值也就增加个单位，即.

4技术系数与约束右端项发生改变

4.1具体应用

对于上述实例，问题的技术系数与约束右端项经过变化后为：

其标准形式为：

列出单纯形表5，如下：

表5

由单纯形法解得问题的基可行解为最优解，代入目标函数得.

可以看到，与技术系数约束右端项未改变之前相比，问题的基可行解有所改变，但函数的最优值仍为，没有影响.

问题的对偶问题为：

两个问题的最终单纯形表分别表出，见表6，表7.

表6

表7

4.2影子价格的确定

由原问题与对偶问题的最终单纯形表6和7知，资源设备A的影子价格=0，设备B的影子价格，调试工序的影子价格.

设备A的影子价格为0说明增加设备A的工作时间不会增加总产值，理由是，设备A的松弛变量，表示此种资源还有个单位的剩余，这与原线性规划问题的技术系数与约束右端项未改变时有所不同，但是，这只代表此种资源还有剩余，而增加资源设备A的工作时长不会带来任何经济利益，只会增加更多的剩余.

设备B的影子价格为，则设备B的工作时间增加一个单位时，最优值也会增加个单位，即，与原线性规划问题的技术系数与约束右端项未改变时，增加了.

如果设备A、B都没有变化，而调试工序的时间增加一个单位，从影子价格可知总产值的增加量为，总产值也就增加个单位，，没有影响.

5结论

5.1主要发现

由实例的计算结果对比可以看出，技术系数、约束右端项改变后对线性规划问题有以下几点影响：

（1）对最优解的影响

显然，原线性规划问题的基可行解发生改变，即改变线性规划问题的技术系数和约束右端项，对其最优解有影响.

（2）对目标函数值的影响

从

（1）中得知问题的最优解发生了改变，但要指出的是，尽管线性规划问题的最优解发生了改变，但对问题的目标函数值却无影响.

（3）对检验数的影响

从影子价格的含义上观察单纯形表的计算.

代表第种产品的产值，是生产该种产品所消耗各项资源的影子价格的总和，即产品的隐含成本.当