二元函数的积分中值定理的探究.doc
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楚雄师范学院本科论文（设计）
目录
摘要 I
关键词 I
Abstract II
Keywords II
前言 1
1预备知识 1
1.1相关定理 1
2多元函数积分中值定理的各种形式 2
2.1曲线积分中值定理的推广 2
2.1.1第一型曲线积分中值定理 2
2.1.2第二型曲线积分中值定理 4
2.2二重积分中值定理的探究及推广 5
2.3曲面积分中值定理的探究及推广 7
2.3.1第一型曲面积分中值定理 7
2.3.2第二型曲面积分中值定理 7
结论 9
参考文献 10
致谢 11
楚雄师范学院本科论文（设计）
摘要：
积分中值定理是数学分析的重要定理，我们主要讨论了二元函数的曲线、重积分、曲面的各种形式中值定理，而且还给出了这些定理的证明过程，最后总结出各类积分中值定理的形式.
关键词：
积分中值定理；第二中值定理；曲线积分中值定理；二重积分中值定理；曲面积分中值定理
Studyonmean-valuetheoremsforRiemann-Stieltjesintegralsoffunctionsoftwovariables
Abstract:
Mean-valuetheoremsforintegralsareoneoftheoremsinmathematicalanalysis.Inthispapermean-valuetheoremforRiemann-Stieltjesintegralsoffunctionsoftwovariablesarediscussed.Weobtainallkindsofmean-valuetheoremsforintegralswhichincludecurvilinear,multipleandsurfaceintegrals.Finally,theproofsofmean-valuetheoremsaregiven.
Keywords:
mean-valuetheoremintegral;secondmean-valuetheorems;curvilinearintegral;multipleintegrals;surfaceintegrals
11
二元函数的积分中值定理的探究
前言
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，主要包含一元函数及多元函数的积分中值定理，它在数学分析中占有很重要的地位.但是许多文献，对于多元函数的曲线积分、曲面积分、重积分的中值定理的探究相对较少或相对浅略.基于这个理由，我们将借鉴一元函数的第一、第二积分中值定理的研究方法及思想，在文献[1-6]的基础上，主要讨论二元函数的积分中值定理在曲线、曲面、重积分情形上是否成立，通过研究该课题，进一步完善积分中值定理的相关理论.
1预备知识
1.1相关定理
定理1假设和分别为函数在区间上的最大值和最小值，且在区间上可积，则有
成立.
定理2（一元函数的介值性定理）设函数在闭区间上连续.并且函数与函数不相等.如果是介于和之间的任何实数或，则至少存在一点，使得
成立，其中.
定理3（二元函数的介值性定理）设函数在区域上连续，若为中任意两点，且，则对任何满足不等式
的实数，必存在点，使得.
定理4（定积分中值定理）如果函数在闭区间上连续，则在区间上至少存在一个点，使下式
成立.
定理5（推广的第一积分中值定理）如果函数在闭区间上连续，在上不变号，并且在上是可积的，则在上至少存在一点，使得
成立.
定理6（积分第二中值定理）如果函数在闭区间上可积，而在区间上单调，则在上至少存在一点，使下式成立
定义1设平面光滑曲线:
，两端点为和.若在上不变号，称曲线关于坐标是无反向的.若在上不变号，称曲线关于坐标是无反向的.
2多元函数积分中值定理的各种形式
受文献[1],文献[2]的启发，本文主要对曲线积分的三种形式，二重积分及曲面积分的三种形式的中值定理进行探讨.
2.1曲线积分中值定理的推广
首先对曲线积分中值定理进行探讨，在本文中只讨论曲线:
为参数方程的情形，而对于曲线为直角坐标形式及其它形式的积分中值定理类似地可得到.
2.1.1（第一型曲线积分中值定理）
定理7如果函数在光滑有界曲线:
上连续，则在曲线上至少存在一点.使
成立，其中为曲线的弧长，并且.
证明因为函数在光滑有界闭曲线上连续，所以
记
由已知条件知在上连续，在上连续且非负，则根据推广的第一积分中值定理，，使
成立.
即
从而命题得证.
在数学分析等文献中仅仅阐述了定理7，而对两个函数乘积的曲线积分中值定理未提到，下面我们将对其探究证明,并进行推广.
定理8如果函数在光滑有界曲线上连续，在上不变号，则在曲线上至少存在一点，使
成立.
证明由于，由条件知,在上不变号，则在上不变号，又在上连续，由此可知在上也连续.由定理7可知，使得,有以下式子
成立.
即
从而命题得证.
定理9如果函数在光滑有界闭曲线:
上连续可积，在上不变号,其中,，其中.则在曲线上至少存在一点,把曲线分为曲线和曲线,使得
成立.
证明由定理8知，记，则有.
记
是关于点的函数.
（1）当时，显然成立.
（2）当,
当时，
则有
；
由于，，于是有
即
.
当时，
则有
；
由于，，于是有
即
.
（3）当,类似可讨论.
综上由零点存在定理，则至少有一点，使得,即
即
从而命题得证.
以上给出了二元函数的第一型曲线积分中值定理的三种形式及证明，而我们仅仅讨论了曲线形如的情形，对于直角坐标的情形，是否也能得到类似的三个定理，类似可讨论.
2.1.2（第二型曲线积分中值定理）
第二型曲线积分中值定理定理是否成立，接下来我们对其进行探讨.
如果成立，则有如下命题.
函数在光滑有向曲线上连续，其中为光滑有向曲线在轴正向上的投影，其中符号“”是由曲线的方向确定的，则在曲线上至少存在一点，使得
（1）
成立.
但有如下例子，
设,曲线为圆，方程为.如图1
Y
1
X
O
图1
由积分的对称性知,可得，而,故不可能存在点使
（1）成立.于是第二型曲线积分中值定理在此不成立.
由此可见第二型曲线积分中值定理一般不成立，下面我们探讨特殊形式的第二型曲线积分中值定理.
定理10设，在定向光滑曲线上连续，曲线上任意一点处与方向一致的切线方向与轴余弦为，且在曲线上不变号，则在至少存在一点，使得
证明因为且，在上连续，在曲线上不变号，由于曲线光滑，从而在线上连续，由定理8知，存在,使得
即
从而命题得证.
定理11设曲线关于坐标是无反向的，，为定义在上的二元函数，满足，沿曲线从到关于坐标第二型可积，在上是可介值的，在上不变号.则至少存在一点,,使得
成立.
证明过程参考文献[6].
推论1设曲线关于坐标是无反向的，为定义在上的二元函数，在上是可介值的.则至少存在一点,,使得
成立.
即
为光滑有向曲线在轴正向上的投影.
类似的，可以推广到对坐标的曲线积分以及空间曲线积分上的情形.
2.2二重积分中值定理的探究及推广
下面给出二重积分中值定理的三种形式.
定理12假设函数在有界是的面积，则在上至少存在一点使得
成立.
证明由于函数在闭区域上连续，假设在闭区域上的最大值和最小值分别为，即.对不等式在区域上进行二重积分可得,
即
其中为闭区域的面积，我们不妨记.
有
由于，将不等式除以可得
由于函数在闭区域上连续，由二元函数的介值性定理知，则在上至少存在一点使得
成立.将上式两边同乘以即可得到
从而命题得证.
定理13假设函数在闭区域上连续，在上可积且不变号，其中是的面积，则在上至少存在一点使得
成立.
证明不妨设由于函数在闭区域上连续，在闭区域上的最大值和最小值分别为，即,从而
若
则
成立.
即对任意,等式成立；
若
由二元函数的介值性定理，存在.
使得
即
从而命题得证.
定理14假设函数在闭区域上连续，在上可积且不变号，其中是的面积，存在两个区域满足,，在，上都可积，记，,其中.则有
成立.
证明参照定理9的方法及思想即可以得到.
2.3曲面积分中值定理的探究及推广
下面分别给出第一型曲面积分与第二型曲面积分中值定理的几种形式.
2.3.1（第一型曲面积分中值定理）
定理15设为平面上的有界闭区域，其中为光滑曲面，并且函数,在上连续，在上不变号，则在曲面上至少存在一点，使
成立，其中是曲面的面积.
证明因为
因为，在曲面上连续,可得
在上也连续，由于在上不变号，所以在上不变号.由二重积分的中值定理（定理13），可知存在,使得，且
从而命题得证.
推论2设为平面上的有界闭区域，其中为光滑曲面，并且函数,在上连续，在上不变号，则在曲面上至少存在一点，使
成立，其中是曲面的面积.
定理16设为平面上的有界闭区域，其中为光滑曲面，并且函数,在上连续，在上不变号，存在两个光滑曲面满足,,在,上都可积，记，.其中
则有
成立.证明方法参照定理9.
在这里我们证明了第一型曲面积分的积分中值定理的几种类型，并进行了推广探究，得到了相关的定理.
2.3.2（第二型曲面积分中值定理）
接下来我们对第二型曲面积分的积分中值定理是否成立?
以及有几种类型进行探讨.
若成立，则有如下面命题.
若有光滑曲面，其中是有界闭区域，函数在上连续，是的投影的面积，由此在曲面上至少存在一点，使
（2）
成立.
但有如下例子，
设是在的部分，并取球面外侧为正，把曲面表示为参
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