届炎德英才大联考长郡中学高考模拟卷一数学文试题解析版Word文件下载.docx

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S=35+13=48，a=15，判断，应执行否，n=6+1=7，

S=48+15=63，a=17，判断，应执行否，n=7+1=8，

S=63+17=80，a=19，判断，此时应输出，所以判断框内应填n>

7，故选择D.

4．将函数的图像向左平移个周期后，所得图像对应的函数的一个单调增区间为（）

【答案】B

【解析】函数的周期为，将函数的图像向左平移个单位后，得到，函数的单调增区间为，即，当时，，故选择B.

5．在区间上随机地取一个数，使恒成立的概率是（）

【解析】恒成立，即，设，则，当且仅当，即时，等号成立，所以问题转化为，即，所以在区间上随机地取一个数时，使恒成立的概率是，故选择A.

6．如图，网格纸上小正方形为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三图，则该多面体的体积为（）

【解析】根据三视图考虑将多面体置于正方体中，如下图，四棱锥P-ABCD为图中三视图所对应的几何体，

连接AC，则，故选择B.

7．已知函数，且给定条件“”，条件“”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）

【解析】

当时，，则，所以，又当时，，若是的充分不必要条件，则，所以，故选择A.

8．若圆关于直线对称，则被圆心在原点半径为的圆截得的最短的弦长为（）

【答案】C

【解析】由题意，直线过圆的圆心为M，则问题转化为过点M的直线被圆所截得的最短弦长，即直线垂直于OM时，被圆所截得的弦长最短，，则弦长为，故选择C.

9．已知函数，则函数的大致图像为（）

A.B.C.D.

【解析】函数的定义域为，，则为非奇非偶函数，排除B，C选项，

当时，，当时，，故选择A.

10．直线与双曲线的左支、右支分别交于两点，为右顶点，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（）

【解析】如图，设双曲线左定点为K，根据双曲线对称性可知，，所以直线OC方程为，则，将C点带入双曲线方程有，所以，则离心率为，故选择D.

方法点睛：

本题关键是分析出，从而得到直线OC方程为，通过直线与双曲线联立，计算进而求出离心率，这也是求双曲线离心率的一般方法：

即求双曲线的离心率时，将提供的双曲线几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或不等式.

11．已知直线与函数的图像交于两点，若中点为点，则的大小为（）

【解析】由已知条件有：

，，则，当时，，所以，故选择B.

①函数关于点对称

；

②函数关于点对称（即为奇函数）；

③是偶函数函数关于直线对称；

④是奇函数函数关于直线点对称.

12．已知点在同一个球的球面上，,若四面体中球心恰好在侧棱上，,则这个球的表面积为（）

【解析】根据题中条件，将四面体ABCD置于长方体中，如下图，则球心在体对角线DA中点处，球的直径为体对角线DA，，所以，则球的表面积为，故选择C.

解决本题的关键是，即，又球心在DA上，于是联想到将四面体置放在长方体中，将抽象问题具体化，特殊化，易于理解和计算，根据长方体体对角线等于外接球的直径，可以求出球的直径，计算得出球的表面积.考查空间想象能力及等价转化思想的应用.

二、填空题

【答案】

【解析】由得，所以，则，.

14．已知实数满足，则目标函数的最小值为__________．

【解析】不等式组表示的平面区域如下图阴影部分

由上图，显然目标函数在点处取得最小值-2.

15．的三个内角所对的边分别为，则角的最大值是__________．

【解析】根据正弦定理，转化为，即，，根据余弦定理，当且仅当时，等号成立，由于，所以由得，，所以角的最大值为.

16．若函数满足，当时，,若在区间上，方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是__________．

【解析】设，则，则，根据可得：

，（），于是有，则函数图像如下图，

方程有两个不等的实根，转化为有两个不等的实根，即函数的图像与函数在区间上有两个不同的交点，如上图，当与（）相切时，设切点为，，根据导数几何意义有，解得，此时切线斜率为，函数的图像与函数在区间上有两个不同的交点时，则有或，所以或.

本题关键是根据及时，求出函数在区间上的解析式，然后画出分段函数的图像.于是将方程有两个不等的实根，转化为两个函数图像有两个不同的交点，通过数形结合的思想方法，方程的根转化为函数的零点或函数图像的交点，体现了转化思想的重要性.

三、解答题

17．等差数列中，其前项和为，且，等比数列中，其前项和为，且

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求的前项和

（1）；

;

（2）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）本题考查求等差数列通项公式及等比数列通项公式，根据条件求出的值，求出公差后可以求出通项公式，同理根据条件求出，求出公比后可以求出通项公式；

（Ⅱ）根据为等差数列，为等比数列，于是求数列的前n项和用采用错位相减法.

试题解析：

（Ⅰ）由

又,所以或

因为时，，故舍去，

所以等差数列的公式

同样可得或.

因为时,,故舍去.

又为等比数列,所以

（Ⅱ）

①

②

①-②得：

，

（也是正确的）

【考点】1.等差数列；

2.等比数列；

3.数列求和.

18．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：

对首次消费的顾客，按元/次收费,并注册成为会员,对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：

消费次第

第次

次

收费比例

该公司从注册的会员中,随机抽取了位进行统计,得到统计数据如下:

频数

假设汽车美容一次,公司成本为元,根据所给数据,解答下列问题:

（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；

（2）某会员仅消费两次,求这两次消费中,公司获得的平均利润；

（3）设该公司从至少消费两次,求这的顾客消费次数用分层抽样方法抽出人,再从这人中抽出人发放纪念品,求抽出人中恰有人消费两次的概率．

（2）；

（3）．

（1）直接根据古典概型概率公式求解即可；

（2）先求出该会员第一次消费、第二次消费公司获得的利润，然后求平均值即可；

（3）先根据分层抽样的原理算出抽出的人中,消费次的有人，随机抽两人，共有种抽法，抽出人中恰有人消费两次共有种，再根据古典概型概率公式可得结果．

（1）位会员中,至少消费两次的会员有人,所以估计一位会员至少消费两次的概率为．

（2）该会员第次消费时,公司获得利润为（元）,第次消费时,公司获得利润为（元）,所以,公司这两次服务的平均利润为（元）．

（3）至少消费两次的会员中,消费次数分别为，，，，的比例为,所以

抽出的人中,消费次的有人,设为,消费次的有人,设为,消费次和次的各有人,分别设为,从中取人,取到的有:

共种;

去掉后,取到的有:

去掉后,取到的有:

共种,总的取法有种,

其中恰有人消费两次的取法共有：

种，

所以,抽出人中恰有人费两次的概率为．

【考点】1、古典概型概率公式；

2、分层抽样的应用及平均值的求法．

19．如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，平面，，，，.

（1）求证：

平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

（1）详见解析；

（1）取的中点，先证明四边形为平行四边形得到，然后通过勾股定理证明从而得到，然后结合四边形为正方形得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；

（2）解法1是先取的中点，连接，利用

（1）中的结论平面得到，利用等腰三角形三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理得到平面，通过证明四边形为平行四边形得到，从而得到平面，从而得到，然后利用底面四边形为正方形得到，由这两个条件来证明平面，从而得到是直线与平面所成的角，然后在直角中计算，从而求出直线与平面所成角的正切值；

解法2是先取的中点，连接，利用

（1）中的结论平面得到，利用等腰三角形三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理得到平面，然后选择以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求出线与平面所成角的正切值.

（1）取的中点，连接，则，

由

（1）知，，且，四边形为平行四边形，

，，

在中，，又，得，，

在中，，，，

，，，即，

四边形是正方形，，

，平面，平面，平面；

（2）解法1：

连接，与相交于点，则点是的中点，

取的中点，连接、、，

则，.

由

（1）知，且，，且.

四边形是平行四边形.，且，

由

（1）知平面，又平面，.

，，平面，平面，

平面.平面.

平面，.

，，平面，平面，平面.

是直线与平面所成的角.

在中，.

直线与平面所成角的正切值为；

解法2：

则，.由

（1）知，且，，且.

四边形是平行四边形.

，且，

以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，

建立空间直角坐标系，则，，，.

，，.

设平面的法向量为，由，，

得，，得.

令，则平面的一个法向量为.

设直线与平面所成角为，

则.，.

直线与平面所成角的正切值为.

【考点】1.直线与平面垂直；

2.直线与平面所成的角；

3.空间向量法

20．已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足

（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点做直线与轨迹交于两点，若在轴上存在一点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，求直线的斜率的取值范围.

（1）;

（Ⅰ）本问考查求轨迹方程，设动点，由于点在轴上，点在轴的正半轴上，于是可以根据条件表示出，再根据，坐标表示后整理可求出N点的轨迹方程，注意曲线上点坐标的取值范围；

（Ⅱ）本问考查直线与抛物线位置关系，由题分析，直线的斜率显然存在且不为0，于是可设方程为，与曲线C的方程联立，消去未知数x，得到关于y的一元二次方程，设，于是得出，，根据弦长公式求出，若在轴上存在一点，使得是以为直角顶点的直角三角形，则点到轴的距离不大于，转化为关于的不等式，可以求出取值范围.

试题解析:

（Ⅰ）设点