勾股定理经典例题含答案.docx
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勾股定理经典例题含答案
经典例题透析
类型一:
勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中,∠C=90°
(1)已知a=6,c=10,求b,
(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a.
思路点拨:
写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。
解析:
(1)在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=
(2)在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=
(3)在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=
举一反三
【变式】:
如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13,CD=12
∴AC2=AD2-CD2
=132-122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2-BC2
=52-32
=16
∴AB=4
∴AB的长是4.
类型二:
勾股定理的构造应用
2、如图,已知:
在中,,,.求:
BC的长.
思路点拨:
由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有
,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.
解析:
作于D,则因,
∴(的两个锐角互余)
∴(在中,如果一个锐角等于,
那么它所对的直角边等于斜边的一半).
根据勾股定理,在中,
.
根据勾股定理,在中,
.
∴.
举一反三【变式1】如图,已知:
,,于P.求证:
.
解析:
连结BM,根据勾股定理,在中,
.
而在中,则根据勾股定理有
.
∴
又∵(已知),
∴.
在中,根据勾股定理有
,
∴.
【变式2】已知:
如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。
求:
四边形ABCD的面积。
分析:
如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析:
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12,∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=
类型三:
勾股定理的实际应用
(一)用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
(1)求A、C两点之间的距离。
(2)确定目的地C在营地A的什么方向。
解析:
(1)过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得:
BC=500m,AB=
由勾股定理可得:
所以
(2)在Rt△ABC中,
∵BC=500m,AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面交于H.
解:
OC=1米(大门宽度一半),
OD=0.8米(卡车宽度一半)
在Rt△OCD中,由勾股定理得:
CD===0.6米,
CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门.
(二)用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.
思路点拨:
解答本题的思路是:
最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论.
解析:
设正方形的边长为1,则图
(1)、图
(2)中的总线路长分别为
AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3
图(3)中,在Rt△ABC中
同理
∴图(3)中的路线长为
图(4)中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH=CH
由∠FBH=及勾股定理得:
EA=ED=FB=FC=
∴EF=1-2FH=1-
∴此图中总线路的长为4EA+EF=
3>2.828>2.732
∴图(4)的连接线路最短,即图(4)的架设方案最省电线.
举一反三
【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
解:
如图,在Rt△ABC中,BC=底面周长的一半=10cm,根据勾股定理得
(提问:
勾股定理)
∴AC===≈10.77(cm)(勾股定理).
答:
最短路程约为10.77cm.
类型四:
利用勾股定理作长为的线段
5、作长为、、的线段。
思路点拨:
由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作。
作法:
如图所示
(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB,使AB为斜边;
(2)以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角。
斜边为;
(3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、的长度就是
、、、。
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
解析:
可以把看作是直角三角形的斜边,,
为了有利于画图让其他两边的长为整数,
而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。
作法:
如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,
以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。
类型五:
逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1.原命题:
猫有四只脚.(正确)
2.原命题:
对顶角相等(正确)
3.原命题:
线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等.(正确)
4.原命题:
角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.(正确)
思路点拨:
掌握原命题与逆命题的关系。
解析:
1.逆命题:
有四只脚的是猫(不正确)
2.逆命题:
相等的角是对顶角(不正确)
3.逆命题:
到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(正确)
4.逆命题:
到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(正确)
总结升华:
本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。
思路点拨:
要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题。
解析:
由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得:
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0。
∴a=3,b=4,c=5。
∵32+42=52,
∴a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形。
总结升华:
勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
举一反三【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。
【答案】:
连结AC
∵∠B=90°,AB=3,BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)
∴AC=5
∵AC2+CD2=169,AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)
【变式2】已知:
△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.
分析:
本题是利用勾股定理的的逆定理,只要证明:
a2+b2=c2即可
证明:
所以△ABC是直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB。
请问FE与DE是否垂直?
请说明。
【答案】答:
DE⊥EF。
证明:
设BF=a,则BE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,
∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接DF(如图)
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴DF2=EF2+DE2,
∴FE⊥DE。
经典例题精析
类型一:
勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3:
4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。
思路点拨:
在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积。
解析:
设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得:
(3x)2+(4x)2=202
化简得x2=16;
∴直角三角形的面积=×3x×4x=6x2=96
总结升华:
直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解。
举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。
【答案】如图,等边△ABC,作AD⊥BC于D
则:
BD=BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)
∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)
∴BD=1
在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2,即:
AD2=AB2-BD2=4-1=3
∴AD=
S△ABC=BC·AD=
注:
等边三角形面积公式:
若等边三角形边长为a,则其面积为a。
【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。
【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得:
由
(1)得:
x+y=7,
(x+y)2=49,x2+2xy+y2=49(3)
(3)-
(2),得:
xy=12
∴直角三角形的面积是xy=×12=6(cm2)
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。
思路点拨:
首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。
解:
此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得:
(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2
化简得:
n2=4
∴n=±2,但当n=-2时,n+1=-1<0,∴n=2
总结升华:
注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边。
【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是()
A、8,15