三角函数的图象与性质Word文档格式.docx

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周期性

π

奇偶性

奇函数

偶函数

递增区间

[2kπ-π,2kπ]

递减区间

[2kπ,2kπ+π]

对称中心

(kπ,0)

对称轴方程

x=kπ+

x=kπ

知识拓展

1.对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

2.奇偶性

若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则:

(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);

(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×

”)

(1)y=sinx在第一、第四象限上是增函数.( ×

 )

(2)由sin=sin知,是正弦函数y=sinx(x∈R)的一个周期.( ×

(3)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.( ×

(4)已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( ×

(5)y=sin|x|是偶函数.( √ )

题组二 教材改编

2.[P35例2]函数f(x)=cos的最小正周期是________.

答案 π

3.[P46A组T2]y=3sin在区间上的值域是________.

答案 

解析 当x∈时,2x-∈,

sin∈,

故3sin∈,

即y=3sin的值域为.

4.[P45T3]y=tan2x的定义域是________.

解析 由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,

∴y=tan2x的定义域是.

题组三 易错自纠

5.函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是(  )

A.x=B.x=

C.x=-D.x=-

答案 C

解析 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,故令x-=kπ+,k∈Z,

∴x=kπ+,k∈Z.

取k=-1,则x=-.

6.函数y=-tan的单调递减区间为__________.

答案 (k∈Z)

解析 因为y=tanx的单调递增区间为(k∈Z),

所以由-+kπ<

2x-<

+kπ,k∈Z,

得+<

x<

+(k∈Z),

所以y=-tan的单调递减区间为(k∈Z).

7.cos23°

,sin68°

,cos97°

的大小关系是________.

答案 sin68°

>

cos23°

cos97°

解析 sin68°

=cos22°

又y=cosx在[0°

,180°

]上是减函数,

∴sin68°

.

题型一 三角函数的定义域和值域

1.函数f(x)=-2tan的定义域是(  )

A.B.

C.D.

答案 D

解析 由正切函数的定义域,得2x+≠kπ+,k∈Z,即x≠+(k∈Z),故选D.

2.函数y=的定义域为________.

解析 方法一 要使函数有意义,必须使sinx-cosx≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.在[0,2π]内,满足sinx=cosx的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为.

方法二 利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).所以定义域为

3.函数y=-2sinx-1,x∈的值域是________.

答案 (-2,1]

解析 当x∈时,-1≤sinx<

所以函数y=-2sinx-1,x∈的值域是(-2,1].

4.(优质试题届山东邹平双语学校月考)函数f(x)=sin2x+cosx-的最大值是________.

答案 1

解析 f(x)=sin2x+cosx-

=1-cos2x+cosx-,

令cosx=t且t∈[0,1],

则y=-t2+t+=-2+1,

当t=时,ymax=1,

即f(x)的最大值是1.

思维升华

(1)三角函数定义域的求法

求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.

(2)三角函数值域的不同求法

①利用sinx和cosx的值域直接求;

②把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)的形式求值域;

③通过换元,转换成二次函数求值域.

题型二 三角函数的单调性

命题点1 求三角函数的单调性

典例

(1)函数f(x)=tan的单调递增区间是(  )

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

答案 B

解析 由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z),

得-<x<+(k∈Z),

所以函数f(x)=tan的单调递增区间为

(k∈Z),故选B.

(2)(优质试题·

哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y=sinx+cosx的单调递增区间是____________.

解析 ∵y=sinx+cosx=sin,

由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),

解得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).

∴函数的单调递增区间为(k∈Z),

又x∈,∴单调递增区间为.

命题点2 根据单调性求参数

典例已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.

解析 由<x<π,ω>0,得

+<ωx+<ωπ+,

又y=sinx的单调递减区间为,k∈Z,

所以k∈Z,

解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.

又由4k+-≤0,k∈Z且2k+>

0,k∈Z,得k=0,所以ω∈.

引申探究

本例中,若已知ω>

0,函数f(x)=cos在上单调递增,则ω的取值范围是______.

解析 函数y=cosx的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,

则k∈Z,

解得4k-≤ω≤2k-,k∈Z,

又由4k--≤0,k∈Z且2k->0,k∈Z,

得k=1,所以ω∈.

思维升华

(1)已知三角函数解析式求单调区间

求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,可借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.

(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.

跟踪训练 (优质试题·

济南模拟)若函数f(x)=sinωx(ω>

0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω等于(  )

C.2D.3

解析 由已知得=,

∴T=,∴ω==.

题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性

命题点1 三角函数的周期性

典例

(1)(优质试题·

湘西自治州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-ωπ)(ω>

0)的最小正周期为π,则f等于(  )

A.B.-

C.D.-

答案 A

解析 ∵T=π,∴ω===2,

∴f(x)=sin=sin2x,

∴f=sin=.

(2)若函数f(x)=2tan的最小正周期T满足1<

T<

2,则自然数k的值为________.

答案 2或3

解析 由题意得,1<

<

2,

∴k<

π<

2k,即<

k<

π,

又k∈Z,∴k=2或3.

命题点2 三角函数的奇偶性

典例(优质试题·

银川模拟)函数f(x)=3sin,φ∈(0,π)满足f(|x|)=f(x),则φ的值为________.

解析 由题意知f(x)为偶函数,关于y轴对称,

∴f(0)=3sin=±

3,

∴φ-=kπ+,k∈Z,

又0<

φ<

π,∴φ=.

命题点3 三角函数图象的对称性

典例

(1)下列函数的最小正周期为π且图象关于直线x=对称的是(  )

A.y=2sinB.y=2sin

C.y=2sinD.y=2sin

解析 由y=f(x)的最小正周期为π,可排除C;

其图象关于直线x=对称,根据选项,则f=2或-2,可排除A,D.故选B.

全国Ⅰ改编)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为________.

答案 9

解析 因为x=-为f(x)的零点,x=为f(x)的图象的对称轴,所以-=+,即=T=·

,所以ω=2k+1(k∈N),又因为f(x)在上单调,所以-=≤=,即ω≤12,

若ω=11,又|φ|≤,则φ=-,

此时,f(x)=sin,f(x)在上单调递增,在上单调递减,不满足条件.

若ω=9,又|φ|≤,则φ=,

此时,f(x)=sin,满足f(x)在上单调的条件.

由此得ω的最大值为9.

思维升华

(1)对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点.

(2)求三角函数周期的方法

①利用周期函数的定义.

②利用公式:

y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.

跟踪训练

(1)(优质试题·

大连模拟)函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω≠0)对任意x都有f=f,则f等于(  )

A.2或0B.-2或2

C.0D.-2或0

解析 由题意,知x=为函数f(x)的一条对称轴,

∴f=±

2.

(2)若将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位长度后与原函数的图象关于x轴对称,则ω的最小正值是________.

答案 3

解析 若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后与原函数的图象关于x轴对称,则平移的大小最小为,所以≤,即Tmax=,所以当T=时,ωmin===3.

考点分析纵观近年高考中三角函数的试题,其有关性质几乎每年必考,题目较为简单,综合性的知识多数为三角函数本章内的知识,通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破,并在高考中拿全分.

全国Ⅲ)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是(  )

A.f(x)的一个周期为-2π

B.y=f(x)的图象关于直线x=对称

C.f(x+π)的一个零点为x=

D.f(x)在上单调递减

解析 A项,因为f(x)=cos的周期

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