高等代数北大版第9章习题参考答案Word文档下载推荐.docx
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,0）
2（0,1,,0）
（0,0,
1），
的度量矩阵为B
（bij）
bij（
i,j）
（QJ,
an
a12
a1n
a22
a2n
an1
an2
ann
0）
1
（j）=aij，（i,j1,2,,n），
因此有
4）
由定义，
ajXiyj
i,j
ajXiXj
ajyyj
故柯西一布湿柯夫斯基不等式为
ajXyj
a^yiyj
2.在R4中，求,
之间
（内积按通常定
1）
（2,1,3,2）
（1,2,
2,1）
2）
（1,2,2,3）,
（3,1,
5,1）,
3）
（1,1,1,2）
5
（3,2,
1,0）o
解1）
由定义，得
（,）2112
3
（1）
21
义），
设：
所以
因为
18
36
cos
18.36
（,）3
（,）17
（
）3cos
13
所以,
J77。
3.d（,）
通常为,
的距离，证明；
d（,）d（
）d（,
）。
证由距离的定义及三角不等式可得
d（,）
1（
）
3）同理可得
3
.77，
d（,）d（,）。
4在R4中求一单位向量与
1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3正交。
解设
X1,X2,X3,X4
与三个已知向量分别正交，得方程组
X1X2X3
X40
X40，
2x1x2x3
3x40
因为方程组的系数矩阵A的秩为3,所以可令
x31捲4,x20,x43，即4,0,1,3。
再将其单位化，则
11
丄寺4,0,1,3，
a<
26
即为所求。
5•设1,2,
n是欧氏空间V的一组基，证明：
1）如果V使
i0i1,2,,n,，那么
2）如果1,2
V使对任一
V有
1,2,，那么
12。
证1）因为1,
2,
n为欧氏空间
V的一组基，且对
V，有
i01,2,
n,
所以可设k1
1k22
knn
且有
,k11
k22
匕，1k2
2
kn,
n
即证0。
2）由题设，对任一
V总有
2,，特别对基
i也有
11i2）i
，或者
2,i
0i1,2,,n，
再由1）可得1
20，
即证
12
6设1,2,3是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明:
丄2
也是一组标准正交基。
证因为
3,21
同理可得
另一方面
21,21
4
（2）
22,
3>
23
1,121223,21223
9
941>
142>
23,3
1-（441）1,
2,23,31,
即证1,2,3也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。
7.设1,2,3,4,5也是五维欧氏V空间中的一组标准正交基，ML2,2,3，其中
115,2124
求V1的一组标准正交基。
解首先证明1,2,3线性无关•事实上，由
（1,2,3）（1,2,3,
2
其中A0
1的秩为
将正交化，可得
4,5）0
3，所以1,
2,3
线性无关。
单位化，有
2（122245）,
10
3㊁（1235）,
则1,2,3为V的标准正交基。
8.求齐次线性方程组
2x1x2
x3x43x50
X1X2X3X5
的解空间（作为R5的子空间）的一组标准正交基。
x43x52x1x2x3
X5X1X2X3
可得基础解系为
3（0,0,1,4,1），
1（1,0,0,5,），2（0,1,0,4,1）
它就是所求解空间的一组基。
将其正交化，可得
再将
（1,0,0,5,
（2,1）
（1,1）
（3,1）
1），
]（7,9,0,1,
2）
3单位化，可得
存7"
5,1,2），
1（1,0,0,5,1），
3、3
（7,9,0,
3.15
1,2），
（7,6,15,1,2），
3^35
则1,
3就是所求解空间的一组标准正交基。
9.在R[X]4中定义内积为（f,g）=
1f（x）g（x）dx
求R[X]
4的一组标准正交基（由基
解取R[X]4的一组基为11,
x,3x2,4
x3,将其正交化，可得111，
（2,
（1,
X，其中（2,1）
ix?
1dx0,又因为
46
U10/c2
_2-,
3（3x1）,
2x
4
土（5x3
3x）,
（3,1）
（2,2）
11x2dx
3，
11?
1dx
2，
（3,
11x2?
xdx0，
所以3
2x3，
3（1,
1）（2:
|2）
同理可得4
（4,1）
4（1,1）1
（4,2）
（4,3）
2（3,3）3
x3?
x
（2,2）
冉将1,2,3,
4单位化，即得
1匚1
V，
则1,2,3,4即为所求的一组标准正交基。
10.设V是一n维欧氏空间，0是V中一固定向量
1）证明:
V1{x|（x,a）0,xV}是V的一个子空间;
2）证明:
V1的维数等于n-1。
证1）由于00V因而V1非空•下面证明V1对两种运算封闭.事实上，任取x1,x2V1,
则有（
）（X2,）0，于是又有（冷
X2,）（为）
（X2
）0,
所以X1x2V1。
另一方面，也有（
kx1,
）kg）0,
即kx1
V1。
故
V1是V的
一个子空间。
2）因为
0是线性无关的，可将其扩充为
V的一组正交基
2丄
n,且（
i,）0
（i2,3,
n）,iV』2,3,Ln）
下面只要证明：
对任意的
V1,
可以由
2,3,r
I线性表出，则V1的维数就是
1。
事实上,
对任意的y,都有
V,
于是有线性关系
k1
knn，
（,）k,,）k2（2,）
所以k1（,）0，又因为0，故k10，从而有k22knn，
再由的任意性，即证。
11．1）证明：
欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。
2）利用上述结果证明：
任一欧氏空间都存在标准正交基。
证：
1）设
12
n与1,2,,n是欧氏空间V的两组不同基，
它们对应的度量矩阵
分别是A（aij）和
（bij），另外，
1,2,,n到1,2,
n的过渡矩阵为
c11
c12
c1n
（cij），即
cn1
cn2
cnn
bij
（i,j）
（c1i
cni
n,c1j
cnjn）
cki（k,c1j1k1
cnjn）
ckicsj（k,
s1
s）
ckicsiks，
另一方面,令
DC'
A（dij）,C'
AC
DC（eij），
则D的元素为
disckiks，
故C'
AC的元素
eijdiscsj
nn
（ckiks）csjbij（i,j1,2,n），s1n1
即证C'
ACB。
再由
n12
皆为V的基，所以C非退化，从而B
与A合同。
2）在欧氏空间V中，任取一组基1,2
它的度量矩阵为A
（aij）,其中
j（i,j），且度量矩阵A是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即EC'
AC。
于是只要
（1,2,,n）（1,2,
n）C，
则由上面1）可知基
n的度量矩阵为
E，这就是说,
就是所求的
标准正交基。
12．设
1,
,n
是
维欧氏空间V中的一
组向量，而
（1,
1,2）
L
1,m）
（2,
2,2）
2,m）
M
O
（m,
m,2）
m,m）
证明：
当且仅当
0时
1,2
m线性无关。
证设有线性关系
k11k22kmm0，
将其分别与i取内积，可得方程组
k1（i,1）k2（i,2）
km（i,m）0（i1,2,
m），
由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。
13．证明：
上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。
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