福师大网络学习教育复变函数网络作业包括答案docWord文档格式.docx
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n1=
3、在映射
z2
下，扇形区域0
argz
z
4
。
4、若
1i
1i，则n=
三、计算
1、计算下列函数值：
1）Lnei；
2）34i。
1）、Lnei
解：
主值lneilneiiargeii,
Lneilnei2kii2ki,k
f（z）在整个D是常
1的像区域为
2）、34i
设3+4i的平方根是x+yi，x、y∈R，则有x2-y2=3，且2xy=4，求得x=2，y=1，或x=-2y=-1，
故3+4i的平方根是2+i，或-2-i，
故答案为：
2+i，或-2-i
2、下列函数在复平面上何处可导？
何处解析？
1）1
2）x2
y2
xi2xyy2。
z
因为f（z）=|z|当趋于0-时f（z）=|-1；
当趋于0+时f（z）=|1；
右极限不等
于左极限。
所以f（z）=|z|在z=0处不可导，而在除0以外的其他地方都可导且解析。
x
i
2xy
y2。
ux
2x
vx
2y
uy
vy
2y
vy,uy
y
仅在直线y1上可导，在复平面上处处不解析。
3、函数f（z）x2y32x2y2i是否为解析函数？
求出其导数。
不是解析函数，因为满足条件的只有两个点，不成区域
f
（x,y）
ivx
4xy2
（0,0）
0,f
3,2
3
4i
4、已知f（z）
7
C:
x
，求f1i。
C
d
f（z）
i（3z2
7z
1）
i（6z
7）
f（1
i）
613i
5、计算积分
1）
3z
z2zz
dz；
1）
1dz；
sin
2）
z1
在z
11只有z
1一个极点，所以令fz
，所以
fz
2if1
dz
z11
z11z1
3）z11
ez
zz
解:
4）
z13z3
2。
z2
四、证明：
若积分路径不经过
k,k￠。
i，则
01
证明：
如果积分路径不经过，且不绕过，
则由柯西定理得，
若积分绕z=转圈，则积分值为
若绕z=-i转圈，则积分值为
故在一般情况下，积分值为
五、证明：
设v是u的共轭调和函数，问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数？
判断并给出理由：
Au
Bv,Bu
Av（
A,B
为常数）；
2）u2
v2,uv。
1）证明：
2）不是的共轭调和函数
因为在某区域的调和函数一定是该区域某解析函数（可能多值）的实部或虚
部，反之，某区域的解析函数其实部与虚部都是该区域的调和函数。
和不满足此
条件，应该是2uv是的共轭调和函数。
综上所述，不是的共轭调和函数。
复变函数作业二
一、判断
1、
an（z
2）n在z=0收敛，在z=3发散。
n0
2、在区域z
R解析，且在区间（-R，R）取实数值的函数f（z）展开成z的幂级
数时，展开式的系数都是实数。
（
T
）
3、tan1在圆环区域0
R（0
R
）不能展开成罗朗级数。
（F
4、z=0是f（z）
e
tan1
z的本性奇点。
（T
（1i）nzn
的收敛半径为
2、ez2
sinz2展开成z的幂级数的收敛半径=
3、z=0是f（z）
sinz
tanz的
级零点。
4、f（z）,g（z）以z=a为m级和n级极点，则z=a为f（z）g（z）的m+n
级
极
点。
1、求12在z0
1处的泰勒展开式。
（n
1）（z1）n
（z11）
1（z
2、求
zn
:
z
n1
zndz
在z=1处的泰勒展开式。
3、求f（z）12z4z
当z=1时，此函数的泰勒展开式为：
（z-1）^3-（z-1）^2-3（z-1）
在以i为中心的圆环域展开为罗朗级数。
4、将f（z）
z2（z
i）
zndz
zndz2i
zn
四、若f（z）为整函数，且
M（r）
maxf（z）
，则f（z）是不高于n
lim
r
zr
次的多项式。
ckzk,z
ck
M（r）
（k
0,1,2,L
k
rk
当k
时，令k
p
（p1）
0（k
1时，ck
复变函数作业三
一、
判断题（对的用“
T”表示，错的用“
F”表示）
1、若
f（z）在区域
D单叶解析，则在
D
0。
2、线性变换将平面上的圆周变为圆周或直线。
3、解析函数具有保形性。
4、函数在可去奇点处的留数为0。
二、填空题
T）
1、方程在单位圆
6z6
2z4
10有
6
个根。
2、i关于z
1的对称点为x2+（y-1）
2=1
3、f（z）
2，则
Cargf（z）=
－4
（z
（z5）（z
43i）
4、z5在点z
处的旋转角为
，伸缩率
为
20
三、计算题
1、dz
z49（
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