中考数学动态几何中的定值问题Word格式.docx

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不难，在解决过程中（方法2抓住了边长AB的不变性和PE,PF与BE,AE的不变关系；

方法3抓住了面积的不变性），使得问题迎刃而解。

设计：

大部分学生都能想到方法2，若其他两种方法学生没有想到，也不要深究，更不要自己讲掉。

此题可叫差生或中等偏下的学生回答。

（设计意图：

由简到难，让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。

）

过渡：

这道题太简单了，因为等腰直角三角形太特殊了，我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形，问题有没有变化，又该如何解决？

请看：

【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为

等腰三角形，且两腰AB=AC=5，底边BC=6，

过P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则

PE+PF还是定值吗？

若是，是多少？

若不是，为什么?

三角形相似进行量的转化

（板书）

（M为BC中点）（解题要点：

等腰三角形中，底边上的中线是常作的辅助线，抓住这条线的长度是不变量这个特点，建立PE,PF与AM之间的联系，化动为静）

（M为BC中点）（板书）

（解题要点：

抓住三角形面积是个不变量，用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。

（若学生想不到，可提示：

在此题中，不变的东西是什么？

不变的这个量和变量PE,PF之间有什么联系，能不能用一个等式来表示？

学生会三角形的边长，角度，周长，面积等都是不变量。

由特殊到一般，引出求垂线段长度的常用方法：

等面积法）

（教师行为：

出示题之后，让学生做，教师下去看。

叫用方法1的同学先站起来回答，然后再叫用方法2的同学。

以达到过渡到下一题的目的。

问：

我把题中的5改为a，6改为b，PE+PF还是定值吗？

你能求出这个定值吗？

答：

是定值，求解方法不变。

由这题，你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗？

结论：

等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=（a为腰长,b为底边长,h为的边上的高）（等面积法可以求解，注意当顶角为钝角的情况）

培养学生探究的精神，养成勤总结的习惯）

问题：

通过前面几题，你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么？

应该注意什么问题？

不要被"

动"

、"

变"

迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到不变量或不变关系，找到解题的途径。

在解题过程中要注意点或线在运动的过程中，是否需要讨论。

上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动，有些同学可能还是觉得不够刺激，下面再来一道刺激一点的，让点在一个区域内运动，请看：

【变式2】已知P为边长为a的等边三角形ABC内任意一动点，P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之和是否为定值？

为什么？

（由上题的启示，学生可能很容易想到等面积法）

为定值（M为BC中点）（板书）

可以用几何画板度量长度，进行演示

使学生更深一步理解等面积法的应用）

研究完了P在三角形内部运动的情况，我们不防降低对P点的约束，让这个好动的点P动到三角形外部去，情况又会有何变化？

【变式3】已知P为边长为a的等边三角形ABC外任意一点，P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之间有何关系？

图1图2图3

在几何画板中操作，发现当点P移出三角形时，h1＋h2＋h3发生改变，那么h1,h2,h3有没有什么一定的关系呢？

等面积法还可以用吗？

△PAB，△PBC，△PAC的面积有何关系？

这三个三角形的面积和不变的三角形ABC的面积有何关系？

（只需讲解一种情况，其它让学生自己去补充）

图1：

为定值（板书）

图2：

为定值（只把结论板书）

图3：

图1图2图3

渗透分类讨论思想在平面几何中的应用。

在几何画板中作出个三角形，填充内部，让学生直观地发现几个三角形之间的面积关系。

前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题，下面再看一道以圆为背景的定值问题。

【问题2】　已知：

已知弧AB为120度，在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M（不包括A、B两点），以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C.

求证：

∠ACB有定值，并求出这个定值.

分析：

这个图形中不变的是什么？

不变的角是那一个？

此题中的不变量是弧AB，因此∠AMB也是不变量；

不变关系是相切。

已知直线和圆已经相切，我们会想到什么？

连接圆心与切线

要证∠ACB有定值，可以转化为求什么为定值？

要证∠ACB有定值，只需证∠CAB+∠CBA是定值，只需证

∠MAB+∠MBA是定值，只要∠AMB是定值即可。

证明：

在△ABC中，∠MAB+∠MBA=180－∠AMB，∵M是△ABC的内心，∴∠CAB+∠CBA=2（180－∠AMB）.∴∠ACB=180－（∠CAB+∠CBA）=180－2（180－∠AMB）=2∠AMB－180＝60.∴∠ACB有定值60.

要证∠ACB有定值，只需证∠EMF是定值，只需证∠EMD+∠FMD是定值，只要∠AMD+∠BMD即∠AMB是定值即可。

在四边形CEMF中，∠C+∠EMF=180，∵M是△ABC的内心，

∴∠DMA=∠EMA,∠FMB=∠DMB，∴∠EMD+∠FMD=2∠AMB=240

∴∠EMF=120∴∠C=180-∠EMF=60

总结：

若要证的不变量比较困难，你可以先找找题中比较容易看出的不变量，然后建立两者之间的联系。

多角度，多方位地研究动态几何中的定值问题，本题以圆为背景，研究角的定值问题。

上题是道有关定值的证明题，也就是已经明确方向肯定是定值了，若不是证明题呢？

【问题3】

（2014•苏州）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的代数式表示a；

（2）求证：

为定值；

（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：

在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？

如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；

如果不存在，请说明理由．

（1）由C在二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到a与c的关系式．

（2）求证为定值，一般就是计算出AD、AE的值，然后相比．而求其长，过E、D作x轴的垂线段，进而通过设边长，利用直角三角形性质得方程求解，是求解此类问题的常规思路，如此易得定值．（3）要使线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，且

（2）中=，则可考虑若GF使得AD：

GF：

AE=3：

4：

5即可．由AD、AE、F点都易固定，且G在x轴的负半轴上，则易得G点大致位置，可连接CF并延长，证明上述比例AD：

5即可．

归纳小结：

解答动态几何定值探索问题的方法，一般有两种：

第一种是分两步完成：

1先探求定值.　它要用题中固有的几何量表示.

2再证明它能成立.

探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.

第二种是采用综合法，直接写出证明.

结束语：

数学因运动不再枯燥，数学因运动而充满活力。

希望同学们能够把握动态几何的解题规律。

【课堂小结】

这节课我们学习了一类怎么样的问题？

用什么方法解决？

动态几何中的定值问题

特点：

图形中的某个元素，按某种规律在运动

类型：

（1）点动

（2）线动（3）旋转、平移（4）形变

解题思路：

迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到解题的途径。

作业：

1．阅读材料：

如图1，在△AOB中，∠O=90°

，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）

（1）

【理解与应用】

如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为．

（2）

【类比与推理】

如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；

（3）

【拓展与延伸】

如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°

时，PE+PF是否为定值？

若是，请求出这个定值；

若不是，请说明理由．

2．（2014•宿迁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．

（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；

①求此抛物线的表达式与点D的坐标；

②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；

（2）如图2，若a=1，求证：

无论b，c取何值，点D均为顶点，求出该定点坐标．

3．如图，在中，，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AC切于点D，与AB交于点E，若AD＝2，AE＝1，求的值和四边形BCDE的面积。

参考答案：

1．考点：

圆的综合题；

等边三角形的判定与性质；

矩形的性质；

正方形的性质；

弦切角定理；

相似三角形的判定与性质．

专题：

压轴题；

探究型．

（1）易证：

OA=OB，∠AOB=90°

，直接运用阅读材料中的结论即可解决问题．

（2）易证：

OA=OB=OC=0D=，然后由条件PE∥OB，PF∥AO可证△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA，从而可得==1，进而求出EP+FP=．

（3）易证：

AD=BC=4．仿照

（2）中的解法即可求出PE+PF=4，因而PE+PF是定值．

解：

（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°

．

∵AB=BC=2，∴AC=2．∴OA=．

∵OA=OB，∠AOB=90°

，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE+PF=OA=．

（2）如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°

∵AB=4，AD=3，∴BD=5．∴OA=OB=OC=OD=．∵PE∥OB，PF∥AO，

∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BO