打包下载高考数学二轮复习江苏版三角函数与平面向量专题试题共4套Word版含答案Word文档格式.docx

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d2＝（100＋50t）2＋（130t）2－2×

130t×

（100＋50t）×

＝200（37t2－70t＋50），

因0≤t≤，即0≤t≤8，

故当t＝（min）时，甲、乙两游客距离最短.

（3）由正弦定理＝，

得BC＝·

sinA＝×

＝500（m）.

乙从B出发时，甲已走了50×

（2＋8＋1）＝550（m），还需走710m才能到达C.

设乙步行的速度为vm/min，

由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，

所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在（单位：

m/min）范围内.

探究提高　与解三角形有关的应用题常见两种情形：

一是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；

二是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需要作出这些三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解.

【训练1】如图，现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲在上取不同于A，B的点C，用渔网沿着（在扇形AOB的上）、半径OC和线段CD（其中CD∥OA）在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若OA＝1km，∠AOB＝，∠AOC＝θ.

（1）用θ表示CD的长度；

（2）求所需渔网长度（即图中、半径OC和线段CD长度之和）的取值范围.

解　

（1）由CD∥OA，∠AOB＝，∠AOC＝θ，

得∠OCD＝θ，∠ODC＝，∠COD＝－θ.

在△OCD中，由正弦定理，

得CD＝sin，θ∈.

（2）设渔网的长度为f（θ）.

由

（1）可知，f（θ）＝θ＋1＋sin，

所以f′（θ）＝1－cos，

因为θ∈，所以－θ∈.

令f′（θ）＝0，得cos＝，

所以－θ＝，即θ＝.

列表如下：

θ

f′（θ）

＋

－

f（θ）

极大值

且f（0）＝2，f＝，f＝＋1，

所以f（θ）∈.

故所需渔网长度的取值范围是（单位：

km）.

【训练2】（2017·

徐、宿、连、淮摸底）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC＝∠BAD＝90°

，AD＝DC＝2km，BC＝1km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分.

（1）如图1，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；

（2）如图2，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度.

解　

（1）因为AD＝DC＝2，BC＝1，∠ABC＝∠BAD＝90°

，

所以AB＝.

如图1，取AB的中点G，连接EG，则EG＝，

则四边形BCEF的面积为

S梯形ABCD＝S梯形BCEG＋S△EFG，

即×

×

（1＋2）＝×

GF×

，解得GF＝，

所以EF＝＝

＝（km）.

答：

灌溉水管EF的长度为km.

（2）如图2，连接AC，设DE＝a，DF＝b，

图2

在△ABC中，CA＝＝2，所以在△ADC中，

AD＝DC＝CA＝2，

所以∠ADC＝60°

所以△DEF的面积为S△DEF

＝absin60°

＝ab，

又S梯形ABCD＝×

（1＋2）＝，

所以S△DEF＝S梯形ABCD，即ab＝，即ab＝3.

在△DEF中，由余弦定理，

得EF＝≥＝，

当且仅当a＝b＝时，取等号.

故灌溉水管EF的最短长度为km.

灌溉水管EF的最短长度为km.

第1讲　三角函数的图象与性质

高考定位　高考对本内容的考查主要有：

三角函数的有关知识大部分是B级要求，只有函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质是A级要求；

试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量综合考查，构成低档题.

真题感悟

1.（2013·

江苏卷）函数y＝3sin的最小正周期为________.

解析　利用函数y＝Asin（ωx＋φ）的周期公式求解.函数y＝3sin的最小正周期为T＝＝π.

答案　π

2.（2011·

江苏卷）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）＝________.

解析　因为由图象可知振幅A＝，＝－＝，

所以周期T＝π＝，解得ω＝2，将代入f（x）＝sin（2x＋φ），解得一个符合的φ＝，从而y＝sin，∴f（0）＝.

答案　

3.（2014·

江苏卷）已知函数y＝cosx与y＝sin（2x＋φ）（0≤φ<

π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________.

解析　根据题意，将x＝代入可得cos＝sin，即sin＝，∴＋φ＝2kπ＋或π＋φ＝2kπ＋π（k∈Z）.

又∵φ∈[0，π），∴φ＝.

4.（2017·

全国Ⅱ卷）函数f（x）＝sin2x＋cosx－的最大值是________.

解析　f（x）＝sin2x＋cosx－，

f（x）＝1－cos2x＋cosx－，令cosx＝t且t∈[0，1]，

y＝－t2＋t＋＝－＋1，则当t＝时，f（x）取最大值1.

答案　1

考点整合

1.常用三种函数的图象与性质

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

单调性

在（k∈Z）上单调递增；

在

（k∈Z）上单调递减

在[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上单调递增；

在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上单调递减

在（k∈Z）上单调递增

对称性

对称中心：

（kπ，0）（k∈Z）；

对称轴：

x＝＋kπ（k∈Z）

（k∈Z）；

x＝kπ（k∈Z）

（k∈Z）

2.三角函数的常用结论

（1）y＝Asin（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数；

当φ＝kπ＋（k∈Z）时为偶函数；

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z）求得.

（2）y＝Acos（ωx＋φ），当φ＝kπ＋（k∈Z）时为奇函数；

当φ＝kπ（k∈Z）时为偶函数；

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ（k∈Z）求得.

（3）y＝Atan（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数.

3.三角函数的两种常见变换

（1）y＝sinx

y＝sin（x＋φ）

y＝sin（ωx＋φ）

y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）.

（2）y＝sinx

y＝sinωx

热点一　三角函数的图象

【例1】

（1）（2017·

南京、盐城模拟）将函数y＝3sin的图象向右平移φ个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.

（2）（2016·

苏、锡、常、镇调研）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f的值为________.

解析　

（1）将函数y＝3sin的图象向右平移φ个单位长度后，得到y＝3sin的图象.由所得函数是偶函数，得－2φ＝＋kπ，k∈Z，则φ＝－－，k∈Z.由0<

φ<

得k＝－1，φ＝.

（2）根据图象可知，A＝2，＝－，

所以周期T＝π，ω＝＝2.

又函数过点，所以有sin＝1，而0＜φ＜π，

所以φ＝，则f（x）＝2sin，

因此f＝2sin＝1.

答案　

（1）　

（2）1

探究提高　

（1）对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向.

（2）已知图象求函数y＝Asin（A＞0，ω＞0）的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A；

由函数的周期确定ω；

确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.

【训练1】（2017·

连、徐、宿模拟）若函数f（x）＝2sin（2x＋φ）的图象过点（0，），则函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间是________.

解析　由题意可得f（0）＝2sinφ＝，即sinφ＝，又0<

，则φ＝，所以f（x）＝2sin，由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，当k＝0时，得函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间是.

热点二　三角函数的性质

[命题角度1]　三角函数的性质及其应用

【例2－1】

（1）（2015·

湖南卷）已知ω>

0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.

（2）设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A>

0，ω>

0）.若f（x）在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f（x）的最小正周期为________.

（3）（2017·

全国Ⅲ卷改编）设函数f（x）＝cos，给出下列结论：

①f（x）的一个周期为－2π；

②y＝f（x）的图象关于直线x＝对称；

③f（x＋π）的一个零点为x＝；

④f（x）在上单调递减，其中错误的是________（填序号）.

解析　

（1）由得sinωx＝cosωx，

∴tanωx＝1，ωx＝kπ＋（k∈Z）.

∵ω>

0，∴x＝＋（k∈Z）.

设距离最短的两个交点分别为（x1，y1），（x2，y2），不妨取x1＝，x2＝，

则|x2－x1|＝＝.

又结合图形知|y2－y1|＝＝2，

且（x1，y1）与（x2，y2）间的距离为2，

∴（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝

（2）2，

∴＋

（2）2＝12，∴ω＝.

（2）由f（x）在上具有单调性，得≥－，

即T≥；

因为f＝f，所以f（x）的一条对称轴为x＝＝；

又因为f＝－f，所以f（x）的一个对称中心的横坐标为＝.所以T＝－＝，即T＝π.

（3）函数f（x）＝cos的图象可由y＝cosx的图象向左平移个单位得到，如图可知，f（x）在上先递减后递增，第④个结论错误.

答案　

（1）　

（2）π　（3）④

探究提高　此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证.

[命题角度2]