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d2=(100+50t)2+(130t)2-2×
130t×
(100+50t)×
=200(37t2-70t+50),
因0≤t≤,即0≤t≤8,
故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理=,
得BC=·
sinA=×
=500(m).
乙从B出发时,甲已走了50×
(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C.
设乙步行的速度为vm/min,
由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在(单位:
m/min)范围内.
探究提高 与解三角形有关的应用题常见两种情形:
一是实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;
二是实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形,这时需要作出这些三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要的解.
【训练1】如图,现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲在上取不同于A,B的点C,用渔网沿着(在扇形AOB的上)、半径OC和线段CD(其中CD∥OA)在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若OA=1km,∠AOB=,∠AOC=θ.
(1)用θ表示CD的长度;
(2)求所需渔网长度(即图中、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围.
解
(1)由CD∥OA,∠AOB=,∠AOC=θ,
得∠OCD=θ,∠ODC=,∠COD=-θ.
在△OCD中,由正弦定理,
得CD=sin,θ∈.
(2)设渔网的长度为f(θ).
由
(1)可知,f(θ)=θ+1+sin,
所以f′(θ)=1-cos,
因为θ∈,所以-θ∈.
令f′(θ)=0,得cos=,
所以-θ=,即θ=.
列表如下:
θ
f′(θ)
+
-
f(θ)
极大值
且f(0)=2,f=,f=+1,
所以f(θ)∈.
故所需渔网长度的取值范围是(单位:
km).
【训练2】(2017·
徐、宿、连、淮摸底)某城市有一直角梯形绿地ABCD,其中∠ABC=∠BAD=90°
,AD=DC=2km,BC=1km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF,将绿地分成面积相等的两部分.
(1)如图1,若E为CD的中点,F在边界AB上,求灌溉水管EF的长度;
(2)如图2,若F在边界AD上,求灌溉水管EF的最短长度.
解
(1)因为AD=DC=2,BC=1,∠ABC=∠BAD=90°
,
所以AB=.
如图1,取AB的中点G,连接EG,则EG=,
则四边形BCEF的面积为
S梯形ABCD=S梯形BCEG+S△EFG,
即×
×
(1+2)=×
GF×
,解得GF=,
所以EF==
=(km).
答:
灌溉水管EF的长度为km.
(2)如图2,连接AC,设DE=a,DF=b,
图2
在△ABC中,CA==2,所以在△ADC中,
AD=DC=CA=2,
所以∠ADC=60°
所以△DEF的面积为S△DEF
=absin60°
=ab,
又S梯形ABCD=×
(1+2)=,
所以S△DEF=S梯形ABCD,即ab=,即ab=3.
在△DEF中,由余弦定理,
得EF=≥=,
当且仅当a=b=时,取等号.
故灌溉水管EF的最短长度为km.
灌溉水管EF的最短长度为km.
第1讲 三角函数的图象与性质
高考定位 高考对本内容的考查主要有:
三角函数的有关知识大部分是B级要求,只有函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质是A级要求;
试题类型可能是填空题,同时在解答题中也有考查,经常与向量综合考查,构成低档题.
真题感悟
1.(2013·
江苏卷)函数y=3sin的最小正周期为________.
解析 利用函数y=Asin(ωx+φ)的周期公式求解.函数y=3sin的最小正周期为T==π.
答案 π
2.(2011·
江苏卷)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(0)=________.
解析 因为由图象可知振幅A=,=-=,
所以周期T=π=,解得ω=2,将代入f(x)=sin(2x+φ),解得一个符合的φ=,从而y=sin,∴f(0)=.
答案
3.(2014·
江苏卷)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<
π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是________.
解析 根据题意,将x=代入可得cos=sin,即sin=,∴+φ=2kπ+或π+φ=2kπ+π(k∈Z).
又∵φ∈[0,π),∴φ=.
4.(2017·
全国Ⅱ卷)函数f(x)=sin2x+cosx-的最大值是________.
解析 f(x)=sin2x+cosx-,
f(x)=1-cos2x+cosx-,令cosx=t且t∈[0,1],
y=-t2+t+=-+1,则当t=时,f(x)取最大值1.
答案 1
考点整合
1.常用三种函数的图象与性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
单调性
在(k∈Z)上单调递增;
在
(k∈Z)上单调递减
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;
在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减
在(k∈Z)上单调递增
对称性
对称中心:
(kπ,0)(k∈Z);
对称轴:
x=+kπ(k∈Z)
(k∈Z);
x=kπ(k∈Z)
(k∈Z)
2.三角函数的常用结论
(1)y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;
对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
(2)y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;
对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
(3)y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.
3.三角函数的两种常见变换
(1)y=sinx
y=sin(x+φ)
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
(2)y=sinx
y=sinωx
热点一 三角函数的图象
【例1】
(1)(2017·
南京、盐城模拟)将函数y=3sin的图象向右平移φ个单位长度后,所得函数为偶函数,则φ=________.
(2)(2016·
苏、锡、常、镇调研)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f的值为________.
解析
(1)将函数y=3sin的图象向右平移φ个单位长度后,得到y=3sin的图象.由所得函数是偶函数,得-2φ=+kπ,k∈Z,则φ=--,k∈Z.由0<
φ<
得k=-1,φ=.
(2)根据图象可知,A=2,=-,
所以周期T=π,ω==2.
又函数过点,所以有sin=1,而0<φ<π,
所以φ=,则f(x)=2sin,
因此f=2sin=1.
答案
(1)
(2)1
探究提高
(1)对于三角函数图象的平移变换问题,其平移变换规则是“左加、右减”,并且在变换过程中只变换其自变量x,如果x的系数不是1,则需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向.
(2)已知图象求函数y=Asin(A>0,ω>0)的解析式时,常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A;
由函数的周期确定ω;
确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
【训练1】(2017·
连、徐、宿模拟)若函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点(0,),则函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间是________.
解析 由题意可得f(0)=2sinφ=,即sinφ=,又0<
,则φ=,所以f(x)=2sin,由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,当k=0时,得函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间是.
热点二 三角函数的性质
[命题角度1] 三角函数的性质及其应用
【例2-1】
(1)(2015·
湖南卷)已知ω>
0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=________.
(2)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>
0,ω>
0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为________.
(3)(2017·
全国Ⅲ卷改编)设函数f(x)=cos,给出下列结论:
①f(x)的一个周期为-2π;
②y=f(x)的图象关于直线x=对称;
③f(x+π)的一个零点为x=;
④f(x)在上单调递减,其中错误的是________(填序号).
解析
(1)由得sinωx=cosωx,
∴tanωx=1,ωx=kπ+(k∈Z).
∵ω>
0,∴x=+(k∈Z).
设距离最短的两个交点分别为(x1,y1),(x2,y2),不妨取x1=,x2=,
则|x2-x1|==.
又结合图形知|y2-y1|==2,
且(x1,y1)与(x2,y2)间的距离为2,
∴(x2-x1)2+(y2-y1)2=
(2)2,
∴+
(2)2=12,∴ω=.
(2)由f(x)在上具有单调性,得≥-,
即T≥;
因为f=f,所以f(x)的一条对称轴为x==;
又因为f=-f,所以f(x)的一个对称中心的横坐标为=.所以T=-=,即T=π.
(3)函数f(x)=cos的图象可由y=cosx的图象向左平移个单位得到,如图可知,f(x)在上先递减后递增,第④个结论错误.
答案
(1)
(2)π (3)④
探究提高 此类题属于三角函数性质的逆用,解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式,再根据参数范围求解.或者,也可以取选项中的特殊值验证.
[命题角度2]