正定二次型与不等式文档格式.docx

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摘要I

AbstractII

0引言1

1正定二次型及半正定二次型的定义和性质1

2若干代数不等式2

3几个矩阵（或行列式）不等式6

4两个几何不等式10

参考文献13

0引言

二次型理论作为线性代数中的基础知识[1~3],其应用非常广泛.而且二次型的理论在数学的其他分支及物理、力学、工程技术中也常常用到.另一方面,不等式作为一个极具魅力的领域,对其研究也是一直长盛不衰,除了一些不等式研究成果大量涌现外,一些新的证明不等式的方法不时面世.文[4~6]是这方面的一个真实写照.本文主要讨论如何利用二次型的正定性或半正定性证明有关代数的、或几何的不等式,也是对如何利用高等数学中的观点和方法来研究初等数学问题作一个尝试.

1正定二次型及半正定二次型的定义和性质

为方便起见,首先给出二次型的相关概念及性质,这些性质的证明均可见[7].

定义数域上的元二次齐次多项式

称为数域上的一个元二次型.在不致引起混淆时简称二次型.

当是实数域时,二次型称为实二次型.对于一个元实二次型,如果对任意不全为零的实数都有,则称为正定二次型.如果对任意实数都有,则称为半正定二次型.

如果记,.则二次型可简单地表示为

其中,对称矩阵称为二次型的矩阵,当实二次型正定（或半正定）时,也称实对称矩阵正定（或半正定）.

定理1阶实对称矩阵正定的充分必要条件是:

矩阵的顺序主子式全大于零．

定理2阶实对称矩阵正定的充分必要条件是:

矩阵的特征值全大于零．

定理3阶实对称矩阵正定的充分必要条件是:

存在级实可逆矩阵,使得

．

以上三个定理在任何一本高等代数教材中都可以见到.

关于实二次型半正定性的判定有如下等价条件[2].

定理4设是阶实对称矩阵,则下列条件等价:

（ⅰ）是半正定的;

（ⅱ）合同于;

（ⅲ）存在实可逆矩阵,使,其中,;

（ⅳ）的所有主子式非负,且至少有一个主子式为零;

（ⅴ）的所有特征值非负,且至少有一个特征值为零.

2若干代数不等式

由于二次型的正定性半正定性都是以不等式形式出现的,因而二次型在不等式的证明中应该有其用武之地.这里将用二次型的半正定性证明若干代数不等式.

例2.1设,证明

.

（1）

证明设,则是一个实二次型,其矩阵

.

因为矩阵的一阶主子式,二阶主子式

且,所以是半正定的,从而由定理4（ⅳ）可得二次型半正定,故不等式

（1）成立.

诚然,这种证法并不比通常所用的初等数学证法简单,但它却提供了证明二次齐式不等式的一种全新思路.使用这种方法一般是先从结论出发构造一个相应的二次型,写出二次型的矩阵,然后用有关定理判断该二次型的矩阵正定或半正定,从而得到不等式.

例2.2证明:

对任意个实数,有不等式

.

（2）

证明设

则是一个实二次型,易知二次型的矩阵为

将矩阵的第列分别加到第1列,再将第行减去第1行,得

～.

于是矩阵的特征值为,因而为半正定矩阵,由定理4（ⅴ）可知，二次型是半正定的,从而.这就证明了不等式

（2）.

例2.3设,,,,,皆为实数.求证:

（3）

对任意实数成立的充要条件是

,,,,.

且

证明设二次型

则其矩阵为

因为对任意实数,等价于半正定;

又半正定等价于的所有主子式皆非负.而的三个一阶主子式分别为、、,三个二阶主子式分别为

其三阶主子式即

故不等式（3）对任意实数成立的充要条件是

例2.3是文[8]证明的一个主要不等式,但其证明过程十分冗繁.而这里用半正定二次型理论给出的证明则十分简捷.

例2.4证明不等式

（4）

对任意的成立的充要条件是

,,.

展开,整理,得

记

,,,,,

则不难知道

又容易验证

故由例2.3的结论即知不等式（4）对任意的成立的充要条件是

例2.4是准备参加第29届国际中学生数学竞赛（IMO）中国国家队选拔考试题.

例2.5证明:

对任意,有不等式

.（5）

则有

显然二次型是半正定的,而的矩阵为

因此,.但

故不等式（5）成立.

3几个矩阵（或行列式）不等式

因为二次型可用对称矩阵表示,所以与对称矩阵（或行列式）有关的不等式当然可以考虑用二次型理论处理.请看下面几个例子.

例3.1设皆为实数,证明

.（6）

证明考虑二次型

.

不难知道

因此二次型是半正定的.由定理4（ⅳ）,二次型的矩阵的所有主子式非负.而二次型的矩阵为

则,故不等式（6）成立.

特别地,当时

所以

.（7）

再记,则（7）式即著名的Cauchy不等式

从这里可以看出,不等式（6）是Cauchy不等式的一个推广.

例3.2设,其中,为阶实对称矩阵,为实常数,

为中的固定向量,证明:

（1）任给,恒有的充要条件是:

且任给恒有的充要条件是:

;

（2）存在使得充要条件是:

且存在,使的充要条件是:

.

证明首先注意到正定矩阵的行列式大于零,因而正定矩阵一定是可逆的,所以有意义,又由,不难得到

（8）

且由的正定性知（）,于是

若任给,恒有,则由（8）式即得;

反之,如果,则由（8）式及的正定性即知,任给恒有,故

（1）的前一结论得证.将刚才推理过程中的“”改为“”,即证得

（1）的后一结论.而

（2）的两个结论分别是

（1）的两个结论的逆否命题,既然

（1）的两个结论成立,当然

（2）的两个结论也成立.

例3.3设皆为矩阵,且其中至少有一个是列满秩的,则对任意个维列向量有

.（9）

等式成立当且仅当存在使.

证明考虑元实二次函数

.（10）

由（注意:

是一个实数）. 

不难得到

.（11）

显然,由（10）式知,任给,有,又由定理3知,是阶正定矩阵,故由（11）式及例7即得不等式（9）,且结合例3.2即知,不等式（9）中等式成立当且仅当存在,使,但由（10）式知当且仅当

故不等式（9）中等号成立当且仅当存在,使得

特别地,当时,由不等式（9）也得到著名的Cauchy不等式.因此,不等式（9）是Cauchy不等式的另一个推广.

例3.4设是一个阶实矩阵.求证:

.（12）

证明首先证明命题:

若是正定矩阵,则,其中是的主对角线上的元素.

事实上,将分块为

其中是的阶子矩阵,因为正定,所以也正定,于是

因为,正定,则对,有;

当时,.于是.这样便有.等式成立当且仅当.

由于正定,重复上面的证明即得,即.

现在证明不等式（12）.若,则不等式（12）显然成立.若,则是正定的,由刚才所证命题即知不等式（12）也成立.

特别地，设,取,则有,于是由不等式（12）即得以下一个有趣的不等式

.（13）

可以证明,不等式（13）中等式成立的充要条件是:

4两个几何不等式

几何不等式中也不乏可用实二次型处理的例子.这里仅举两例以说明.

例4.1设是一个三角形的三个内角,证明:

对任意实数,都有

.（14）

证法1设二次型

因,所以,代入矩阵并对进行初等行变换,得

于是矩阵的特征值为0,1,,它们均不小于等于0,从而由定理4（ⅴ）可知二次型是半正定的,因此对于任意实数,都有.不等式（14）得证.

证法2因为矩阵的一阶主子式,三个二阶主子式分别为

显然其二阶主子式皆大于零.又其三阶主子式

而,,所以

这就是说,矩阵A的所有主子式都非负,且其三阶主子式等于零,因而由定理4（ⅳ）,二次型是半正定的.故对任意实数,不等式（14）成立.

不等式（14）即著名的三角形角的嵌入不等式[10].

例4.2设分别为三角形的三边长.证明:

对任意实数有不等式

.（15）

证明在例2.4中,令,显然.又由海伦（Heron）公式,不难得到

其中为三角形的面积,故由例2.4结论可知不等式（15）成立.

由不等式（15）我们可以得到一系列涉及三角形三边长的不等式.

例如,取,,,代入不等式（15）即得

展开整理,则有不等式

又如,当是一个三角形的三边长时,因为

所以.同理,,.这说明也构成一个三角形的三边长,于是由不等式（15）知,不等式

（16）

对任意实数都成立.

在不等式（16）中,取,,,则有

展开整理即得

.（17）

不等式（17）正是第6届国际中学生数学奥林匹克（IMO）试题.

参考文献

[1]王萼芳,石明生．高等代数[M].北京:

高等教育出版社,1999:

210~237.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:

高等教育出版社,2003.

[3]张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M],北京:

383.

[4]哈代,李特伍德,波利亚.不等式[M].越民义,译.北京:

科学出版社,1965.

[5]D.S.Mitrionvic.解析不等式[M],张小萍,王龙,译.北京:

科学出版杜,1987:

75.

[6]匡继昌.常用不等式[M].第4版,济南:

山东科学技术出版社.2004.

[7]杨文杰.实二次型的半正定性及其应用[J],渤海大学学报,2004,25（02）.

[8]刘建.三元二次型的两个定理及其应用[J].中学数学.1996,20（05）.

[9]卢小宁,萧振纲.多元二次函数的一个性质及其应用[J].数学理论与应用,2001,21（04）.

[10]冷岗松.用二次型理