解三角形常用知识点归纳与题型总结Word文件下载.docx
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.
(2)二倍角公式
sin2α=2cosαsinα.
.
(3)辅助角公式(化一公式)
其中
4、正弦定理:
在中,、、分别为角、、的对边,为的外接圆的半径,则有.
5、正弦定理的变形公式:
化角为边:
,,;
化边为角:
=2R
6、两类正弦定理解三角形的问题:
已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.
已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解))
7、三角形面积公式:
.=2R2sinAsinBsinC===(海伦公式)
8、余弦定理:
在中,有,,
.
9、余弦定理的推论:
,,.
注明:
余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化,当题中含有二次项时,常使用余弦定理。
在变形中,注意三角形中其他条件的应用:
10、余弦定理主要解决的问题:
已知两边和夹角,求其余的量。
已知三边求角
11、如何判断三角形的形状:
判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式
设、、是的角、、的对边,则:
若,则;
若,则.
12、三角形的五心:
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
题型之一:
求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题.
1(15北京理科)在中,,,,则.
试题分析:
2.(2005年全国高考湖北卷)在ΔABC中,已知,AC边上的中线BD=,求sinA的值.
分析:
本题关键是利用余弦定理,求出AC及BC,再由正弦定理,即得sinA.
解:
设E为BC的中点,连接DE,则DE//AB,且,设BE=x
在ΔBDE中利用余弦定理可得:
,
,解得,(舍去)
故BC=2,从而,即又,
故,
在△ABC中,已知a=2,b=,C=15°
,求A。
答案:
题型之二:
判断三角形的形状:
给出三角形中的三角关系式,判断此三角形的形状.
1.(2005年北京春季高考题)在中,已知,那么一定是()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形
解法1:
由=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
即sinAcosB-cosAsinB=0,得sin(A-B)=0,得A=B.故选(B).
解法2:
由题意,得cosB=,再由余弦定理,得cosB=.
∴=,即a2=b2,得a=b,故选(B).
评注:
判断三角形形状,通常用两种典型方法:
⑴统一化为角,再判断(如解法1),⑵统一化为边,再判断(如解法2).
题型之三:
解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题.
1.2.在中,,,,求的值和的面积。
3.(07浙江理18)已知的周长为,且.
()求边的长;
()若的面积为,求角的度数.
()由题意及正弦定理,得,,
两式相减,得.
()由的面积,得,
由余弦定理,得,
所以.
题型之四:
三角形中求值问题
1.(2005年全国高考天津卷)在中,所对的边长分别为,
设满足条件和,求和的值.
本题给出一些条件式的求值问题,关键还是运用正、余弦定理.
由余弦定理,因此,
在△ABC中,∠C=180°
-∠A-∠B=120°
-∠B.
由已知条件,应用正弦定理
解得从而
2.的三个内角为,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值。
解析:
由A+B+C=π,得=-,所以有cos=sin。
cosA+2cos=cosA+2sin=1-2sin2+2sin=-2(sin-)2+;
当sin=,即A=时,cosA+2cos取得最大值为。
3.在锐角中,角所对的边分别为,已知,
(1)求的值;
(2)若,,求的值。
(1)因为锐角△ABC中,A+B+C=π,,所以cosA=,
则
(2),则bc=3。
将a=2,cosA=,c=代入余弦定理:
中,
得解得b=。
点评:
知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时,灵活逆用公式求得结果即可。
4.在中,内角对边的边长分别是,已知,.
(Ⅰ)若的面积等于,求;
(Ⅱ)若,求的面积.
本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数有关知识的能力.
(Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,,
又因为的面积等于,所以,得.4分
联立方程组解得,.6分
(Ⅱ)由题意得,
即,8分
当时,,,,,
当时,得,由正弦定理得,
联立方程组解得,.
所以的面积.12分
题型之五(解三角形中的最值问题)
1.(2013江西理)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
(1)求角B的大小;
(2)若,求b的取值范围
(1)60°
(2)[,1)
2.(2013新课标Ⅱ)△在内角的对边分别为,已知.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,求△面积的最大值.
(1)45°
(2)+1
5.(2014新课标Ⅰ理)已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为.
6.△在内角的对边分别为,且=
(1)求角A的大小
(2)若a=4,求b-c的最大值
(2)8
7..(2007全国1理)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.
(Ⅰ)求B的大小;
(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.
(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,
由为锐角三角形得.
(Ⅱ)
由为锐角三角形知,,.
解得所以,
所以.由此有,
所以,的取值范围为.
8.三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2(A-)=(a-b)sinB,
三角形外接圆的半径为
(1)求角C的大小
(2)求△面积的最大值.
(2)
9,的三个内角为,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值。
题型之六(图形中的解三角形)注意灵活利用图形来分析
2.
题型之七:
正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识,例析如下:
(一.)测量问题
1.如图1所示,为了测河的宽度,在一岸边选定A、B两点,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°
,∠CBA=75°
,AB=120cm,求河的宽度。
求河的宽度,就是求△ABC在AB边上的高,而在河的一边,已测出AB长、∠CAB、∠CBA,这个三角形可确定。
由正弦定理得,∴AC=AB=120m,又∵,解得CD=60m。
虽然此题计算简单,但是意义重大,属于“不过河求河宽问题”。
(二.)遇险问题
2某舰艇测得灯塔在它的东15°
北的方向,此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进,30分钟后又测得灯塔在它的东30°
北。
若此灯塔周围10海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险?
如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°
北的方向上;
舰艇航行半小时后到达B点,测得S在东30°
北的方向上。
在△ABC中,可知AB=30×
0.5=15,∠ABS=150°
,∠ASB=15°
,由正弦定理得BS=AB=15,过点S作SC⊥直线AB,垂足为C,则SC=15sin30°
=7.5。
这表明航线离灯塔的距离为7.5海里,而灯塔周围10海里内有暗礁,故继续航行有触礁的危险。
有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是:
(1)准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术语;
(2)画出示意图,并将已知条件在图形中标出;
(3)分析与所研究问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。
(三.)追击问题
3如图3,甲船在A处,乙船在A处的南偏东45°
方向,距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南
偏西15°
方向航行,若甲船以28nmile/h的速度航
行,应沿什么方向,用多少h能尽快追上乙船?
设用th,甲船能追上乙船,且在C处相遇。
在△ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,
设∠ABC=α,∠BAC=β。
∴α=180°
-45°
-15°
=120°
。
根据余弦定理,
,,(4t-3)(32t+9)=0,解得t=,t=(舍)
∴AC=28×
=21nmile,BC=20×
=15nmile。
根据正弦定理,得,又∵α=120°
,∴β为锐角,β=arcsin,又<<,∴arcsin<,
∴甲船沿南偏东-arcsin的方向用h可以追上乙船。
航海问题常涉及到解三角形的知识,本题中的∠ABC、AB边已知,另两边未知,