不等式的证明测试题及答案.doc
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不等式的证明
班级＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
１．若a>0,b>0,则的最小值是 （）
A．2 B． C． D．4
2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 （ ）
A．必要条件 B．充分条件
C．充要条件 D．必要或充分条件
3．设a、b为正数，且a+b≤4，则下列各式中正确的一个是 （）
A． B． C． D．
4．已知a、b均大于1，且logaC·logbC=4，则下列各式中，一定正确的是 （ ）
A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c
5．设a=，b=，，则a、b、c间的大小关系是 （ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．a>c>b
6．已知a、b、m为正实数，则不等式 （ ）
A．当ab时成立
C．是否成立与m无关 D．一定成立
7．设x为实数，P=ex+e-x，Q=（sinx+cosx）2，则P、Q之间的大小关系是 （ ）
A．P≥Q B．P≤Q C．P>Q D．P8．已知a>b且a+b<0，则下列不等式成立的是 （ ）
A． B． C． D．
9．设a、b为正实数，P=aabb，Ｑ=abba，则P、Q的大小关系是 （ ）
A．P≥Q B．P≤Q C．P=Q D．不能确定
10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，则甲、乙两人到达指定地点的情况是 （）
A．甲先到 B．乙先到 C．甲乙同时到 D．不能确定
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题
11．若实数满足，则的最小值为
12．函数的最小值为_____________。
13．使不等式a2>b2，，lg（a－b）>0，2a>2b-1同时成立的a、b、1的大小关系是．
14．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低总造价为元．
三、解答题
15．
（1）若a、b、c都是正数，且a+b+c=1，
求证：
（1–a）（1–b）（1–c）≥8abc．
（2）已知实数满足，且有
求证：
16．设的大小．（12分）
17．
（1）求证：
（2）已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：
18．
（1）已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：
xy≥ac+bd．
（2）已知，且
求证：
19．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？
20．数列{xn}由下列条件确定：
．
（Ⅰ）证明：
对n≥2，总有xn≥；
（Ⅱ）证明：
对n≥2，总有xn≥．
参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
B
D
A
A
C
A
A
二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．12．13．a>b>114．1760
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）
[证明]：
因为a、b、c都是正数，且a+b+c=1，
所以（1–a）（1–b）（1–c）=（b+c）（a+c）（a+b）≥2·2·2=8abc．
16．（12分）
[解析]：
（当且仅当t=1时时等号成立）
（1）当t=1时，
（2）当时，，
若
若
17．（12分）
[证明]：
左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比数列，
又∵a，b，c都是正数，所以≤∴
∴
∴
18．（12分）
[证法一]：
（分析法）∵a,b,c,d,x,y都是正数∴要证：
xy≥ac+bd
只需证：
（xy）2≥（ac+bd）2即：
（a2+b2）（c2+d2）≥a2c2+b2d2+2abcd
展开得：
a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd
即：
a2d2+b2c2≥2abcd由基本不等式，显然成立
∴xy≥ac+bd
[证法二]：
（综合法）xy=
≥
[证法三]：
（三角代换法）
∵x2=a2+b2，∴不妨设a=xsina,b=xcosa
y2=c2+d2c=ysinb,d=ycosb
∴ac+bd=xysinasinb+xycosacosb=xycos（a-b）≤xy
19．（14分）
[解析]：
设画面高为xcm，宽为xcm则x2=4840．
设纸张面积为S，有S=（x+16）（x+10）=x2+（16+10）x+160,
S=5000+44
当8
此时，高：
宽：
答：
画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．
20．（14分）
（I）证明：
由及可归纳证明（没有证明过程不扣分）
从而有所以，当成立.
（II）证法一：
当
所以故当
证法二：
当
所以故当.
2．证明：
即
4．证明：
是方程的两个不等实根，
则，得
而
即，得
所以，即
5．证明：
显然
是方程的两个实根，
由得，同理可得，
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