江苏省徐州市县区学年高二下学期期中考试数Word文档下载推荐.docx
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【答案】都不能被5整除
根据反证法中反设的方法，先根据与5的关系确定出的所有可能情况，然后根据“中至少有一个能被整除”之外的各种可能进行反设即可．
由题意得当时，根据的关系，可将分为如下情况：
①中有一个能被5整除；
②都能被5整除；
③都不能被5整除．
所以“中至少有一个能被整除”包括①②两种可能．
故用反证法证明时，所作的反设是“都不能被5整除”．
反证法证题的第一步就是作出假设，即假设所给命题的否定成立，作出反设时可将命题的所有情况列出来，然后根据所给命题的对立面作出反设即可．
4.命题“，”是_______命题（选填“真”或“假”）.
【答案】真
【解析】当时，成立，即命题“，”为真命题.
5.命题“存在，使”是假命题，则的取值范围是_______.
从所给命题的否定考虑，求出的取值范围后在求其补集即可．
由题意得命题“存在，使”的否定为“任意，使”且为真命题，即在R上恒成立，
∴，
解得．
∴的取值范围是．
本题实质上为反证法的应用，当问题直接求解不容易时，可从问题的反面考虑解决，以达到求解的目的，这也体现了转化思想方法在数学中的应用．
6.已知复数满足，则的值为_______.
【答案】10.
根据待定系数法及共轭复数的概念求出复数，再求出．
设，则．
∴，解得．
∴．
本题考查复数的概念和加减运算，解题的关键是根据待定系数法求出复数z的代数形式，然后再根据复数模的概念求解．
7.已知集合，，则集合的子集个数是_______.
【答案】16
根据题意先求得满足条件的集合，然后根据集合的元素的个数求出其子集的个数．
由题意得，满足题意得元素有：
，
∴集合的子集个数为．
若集合A含有个元素，则集合A的子集的个数为个，真子集的个数为个，非空子集的个数为个，非空真子集的个数为个．
8.已知，经计算得，则对于任意有不等式________成立.
【答案】.
根据观察、分析、归纳、猜想、验证的思路求解，可得对任意成立的不等式的一般形式．
由题意可得
第一个式子：
第二个式子：
第三个式子：
第四个式子：
……
第个式子：
．
∴对于任意有不等式成立．
常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．
（2）形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．
9.如图所示，
椭圆中心在坐标原点，为左焦点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率等于___________.
根据类比推理可得“黄金双曲线”应满足，其中F为左焦点，A,B分别为双曲线的右顶点和虚轴的上顶点，然后求得的坐标后根据题意得到的关系式，解方程可得离心率．
根据“黄金椭圆”的性质是，可得“黄金双曲线”也满足这个性质．
如图，设“黄金双曲线”的方程为，
则，
解得或（舍去），
∴黄金双曲线”的离心率e等于．
本题考查类比推理和双曲线离心率的求法，解题的关键是得到“黄金双曲线”的特征，得到相关点的坐标后将这一特征转化为的关系式，构造出关于离心率的方程，解方程可得所求，解题时要注意双曲线的离心率大于1这一条件．
10.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的____________。
（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一）
【答案】充要条件
根据条件求出“”的充要条件，然后将此结果与“”比较可得结论．
整理得．
∴“”是“”的充要条件．
充分、必要条件的判断方法
（1）利用定义判断：
直接判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．
（2）从集合的角度判断：
利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．
（3）利用等价转化法：
条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．
11.已知下列命题：
①命题“”的否定是“”②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；
③“”是“”的充分不必要条件；
④“若，则且”的逆否命题为真命题.其中所有真命题的序号是____________.
【答案】②
【解析】试题分析：
①存在性命题的否定是全称命题，则命题“”的否定是“”，所以是错误的；
②若“”为假命题，则均为假命题，则和都为真命题，所以“”为真命题；
③当时，满足但不成立，所以“”是“”的充分不必要条件是不正确的；
④“若，则且”，所以原命题是错误的，根据逆否命题与原命题等价性，可知逆否命题为假命题，所以不正确．
考点：
命题正价的判定与应用；
充分不必要条件的判定．
【易错点晴】本题主要考查了命题的真假判定、充分不必要条件的判定，涉及点的知识点含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的判断以及四种命题的关系等知识的综合运用，本题的解答中要牢记复合命题真假判定的方法及真值表的应用，同时注意四种每题之间的关系——互为逆否关系的连个命题属于等价命题，同真同假以及充分条件、必要条件等知识的应用是关键．
12.把53名同学分成若干小组，使每组至少一人，且任意两组的人数不等，则最多分成________个小组.
【答案】9.
因为至多就是每个组人数尽量少，由于，而，
再将这8个人从第2组开始每组分1人后可得结果．
又，
即将8个人从第二组开始每组分1人，从而得到第一组1人，第二组3人，第三组4人，……，第九组10人，由此可得至多可以分为9个组．
本题考查整数的裂项和拆分，解题时可根据等差数列的求和得到初步的分法，然后将剩余的人再进行分配，注意解题时要做到“每组最少1人，且任意两组的人数不同”．
13.六个面都是平行四边形的四棱柱称为“平行六面体”.如图甲在平行四边形中，有，那么在图乙中所示的平行六面体
中，若设底面边长和侧棱长分别为，则用表示
等于____________.
将空间问题转化为平面问题处理，先根据求出，再求出和，然后取和即可得到所求．
在平行四边形中，由题意可得．
同理，在平行四边形和平行四边形中分别可得
，，
∴
本题考查类比推理的应用，解答本题时首先要从给出的信息中找到解题的方法，然后再将空间中的问题逐步分解转化为平面中的问题求解，解题的关键是根据结论把问题的求解逐步向着底面平行四边形的两边和侧棱转化．
14.已知函数，，若存在，使得.则实数的取值范围是__________.
........................
.综上，欲使成立需：
.
【点睛】
本题的解题关键是利用导数工具和函数的单调性取得函数，再利用图像的对称原原理将问题转化为，从而求得正解.
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分.
15.已知集合，.
（1）求集合和；
（2）若，求实数的取值范围.
（1）答案见解析；
（2）.
（1）解一元二次不等式和绝对值不等式可得集合A,B．
（2）由可得然后转化为不等式组求解．
（1）由题意得，
．
（2）
∴实数的取值范围为．
解答本题时注意以下两点：
（1）注意集合间关系的转化，即；
（2）已知集合间的包含关系求参数的取值范围时，可借助于数轴将问题转化为关于集合端点值间的不等式组来解，解题时要注意不等式中的等号能否取得．
16.（本小题满分14分）已知，是虚数单位.
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
（1）a=1或-1.
（2）.
先将复数化为代数形式．
（1）根据纯虚数的概念求解．
（2）根据复数的几何意义得到关于的方程组，解方程组即可得到所求范围．
∵为纯虚数，
∴，解得或．
∴或．
（2）∵复数在复平面上对应的点在第四象限，
∴，解得．
∴实数的取值范围是．
本题考查复数的有关概念，属容易题．解题的关键是正确理解复数的相关概念，并把并把所求问题转化为方程（组）或不等式（组）求解．
17.设是首项为，公比为的等比数列.
（1）若，，证明为单调递增数列；
（2）试探究为单调递增数列的充要条件（用和表示）.
（1）证明见解析；
（2）答案见解析.
（1）由作差法证明成立即可．
（2）由于数列递增，作差可得，然后根据差的符号分析得到的取值情况，即可得到结论．
（1）由题意得
∵
∴数列为单调递增数列．
（2）由题意得．
又当时，数列为摆动数列，不合题意；
当时，数列为长数列，不合题意．
∴q>
0且q．
①当时，由可得；
②当时，由可得；
∴数列为单调递增数列的充要条件是
本题考查等比数列的单调性问题，等比数列的单调性由首项和公比确定，而不是由公比确定，这点与等差数列不同．
18.已知函数，命题，；
命题.
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若为真命题，求的取值范围；
（3）若“”为假命题，“”为假命题，求的取值范围.
（1）
（2）（3）
∵的图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴,
（1）若为真命题，即，使得成立，
则
（2）若为真命题，即恒成立，
∴.
∴实数的取值范围为
（3）∵“”为假命题，“”为假命题
∴为真命题，为假命题.
∴，解得
恒成立问题和能成立问题都可转化为求函数的最值的问题处理，但解题中所要求的最值不同，即能成立，而恒成立，解题时要注意弄清题意，避免出现错误．
19.（本小题满分16分）
（1）已知，求证：
；
（2）若，，，且，求证：
和中至少有
一个小于2.
（1）见解析.
（2）见解析.
（1）用分析法或综合法证明．
（2）用反证法证明．
（1）法一（分析法）：
要证，
只需证，
即证，
只需证
上式显然成立．
所以原不等式成立.
法二（综合法）：
∵，，
∴，
（2）假设和均大于或等于2，即且．
∴且，
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