空间向量的运算及应用.docx

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空间向量的运算及应用

空间向量的运算及应用

一、基础知识

1．空间向量及其有关概念

概念

语言描述

共线向量（平行向量）

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合

共面向量

平行于同一个平面的向量

共线向量定理

对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb

共面向量定理

若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb

空间向量基本定理及推论

定理：

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.

推论：

设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1

2．数量积及坐标运算

（1）两个空间向量的数量积：

①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0（a，b为非零向量）；③设a＝（x，y，z），则|a|2＝a2，|a|＝.

（2）空间向量的坐标运算：

a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）

向量和

a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）

向量差

a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）

数量积

a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3

共线

a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R，b≠0）

垂直

a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

夹角公式

cos〈a，b〉＝

3．直线的方向向量与平面的法向量

（1）直线的方向向量：

如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．

（2）平面的法向量：

直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．

4．空间位置关系的向量表示

位置关系

向量表示

直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2

l1∥l2

n1∥n2⇔n1＝kn2（k∈R）

l1⊥l2

n1⊥n2⇔n1·n2＝0

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m

l∥α

n⊥m⇔n·m＝0

l⊥α

n∥m⇔n＝km（k∈R）

平面α，β的法向量分别为n，m

α∥β

n∥m⇔n＝km（k∈R）

α⊥β

n⊥m⇔n·m＝0

1．空间向量基本定理的3点注意

（1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．

（2）由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量．

（3）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．

2．有关向量的数量积的2点提醒

（1）若a，b，c（b≠0）为实数，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量就不正确，即a·b＝b·ca＝c.

（2）数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即（a·b）c不一定等于a（b·c）．这是由于（a·b）c表示一个与c共线的向量，而a（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．

3．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一

二、常用结论

1．证明空间任意三点共线的方法

　对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：

（1）＝λ（λ∈R）;

（2）对空间任一点O，＝＋t（t∈R）；

（3）对空间任一点O，＝x＋y（x＋y＝1）．

2．证明空间四点共面的方法

　对空间四点P，M，A，B除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面：

（1）＝x＋y；

（2）对空间任一点O，＝＋x＋y；

（3）∥（或∥或∥）．

3．确定平面的法向量的方法

（1）直接法：

观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量．

（2）待定系数法：

取平面内的两条相交向量a，b，设平面的法向量为n＝（x，y，z），由解方程组求得．

考点一空间向量的线性运算

[

1.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，AA1＝c，则下列向量中与相等的是（　　）

A．－a＋b＋c　　　　B.a＋b＋c

C．－a－b＋cD.a－b＋c

解析：

选A　＝＋＝AA1＋（－）＝c＋（b－a）＝－a＋b＋c.

2.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

（1）；

（2）；

（3）＋.

解：

（1）∵P是C1D1的中点，

∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋b＋c.

（2）∵N是BC的中点，

∴＝＋＋＝－a＋b＋

＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.

（3）∵M是AA1的中点，

∴＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c，

又＝＋＝＋＝＋＝a＋c，

∴＋＝＋＝a＋b＋c.

考点二共线、共面向量定理的应用

1．若A（－1,2,3），B（2,1,4），C（m，n,1）三点共线，则m＋n＝________.

解析：

∵＝（3，－1,1），＝（m＋1，n－2，－2），

且A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ.

即（m＋1，n－2，－2）＝λ（3，－1,1）＝（3λ，－λ，λ），

∴解得λ＝－2，m＝－7，n＝4.

∴m＋n＝－3.

答案：

－3

2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝（＋＋）．

（1）判断，，三个向量是否共面；

（2）判断点M是否在平面ABC内．

解：

（1）由已知＋＋＝3，

所以－＝（－）＋（－），

即＝＋＝－－，

所以，，共面．

（2）由

（1）知，，共面且过同一点M.

所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．

3.如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k（0≤k≤1）．判断向量是否与向量，共面．

解：

∵＝k，＝k，

∴＝＋＋＝k＋＋k＝k（＋）＋＝k（＋）＋＝kB1A―→＋＝－k＝－k（＋）＝（1－k）－k，

∴由共面向量定理知向量与向量，共面．

考点三空间向量数量积及应用

[典例精析]如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：

（1）·；

（2）·.

[解]　设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.

（1）因为＝＝（AD－AB）＝c－a，＝－a，

所以·＝·（－a）＝a2－a·c＝.

（2）·＝（＋）·（－）

＝·（－）

＝·（c－a）

＝－＋＋－＋－＝.

[题组训练]

　如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.

（1）求线段AC1的长；

（2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；

（3）求证：

AA1⊥BD.

解：

（1）设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.

∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，

∴||＝|a＋b＋c|＝

＝

＝＝.

∴线段AC1的长为.

（2）设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，

则cosθ＝|cos〈，〉|＝.

∵＝a＋b＋c，＝b－c，

∴·＝（a＋b＋c）·（b－c）

＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，

||＝＝

＝＝.

∴cosθ＝＝＝.

故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.

（3）证明：

∵＝c，＝b－a，

∴·＝c·（b－a）＝c·b－c·a＝（－1）－（－1）＝0，∴⊥，即AA1⊥BD.

考点四利用向量证明平行与垂直问题

[典例精析]

如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证：

（1）PA∥平面EDB；

（2）PB⊥平面EFD.

[证明]　以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

设DC＝a.

（1）连接AC交BD于点G，连接EG.

依题意得A（a,0,0），P（0,0，a），C（0，a,0），E.

因为底面ABCD是正方形，

所以G为AC的中点

故点G的坐标为，

所以＝（a,0，－a），＝，

则＝2，故PA∥EG.

而EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，

所以PA∥平面EDB.

（2）依题意得B（a，a,0），所以＝（a，a，－a）．

又＝，

故·＝0＋－＝0，所以PB⊥DE，

所以PB⊥DE.

由题可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，

所以PB⊥平面EFD.

[解题技法]

利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤

（1）建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．

（2）建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．

（3）通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．

（4）根据运算结果解释相关问题．

[提醒]　运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．

[题组训练]

如图，在三棱锥PABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

（1）证明：

AP⊥BC；

（2）若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.

证明：

（1）以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

则O（0,0,0），A（0，－3,0），B（4,2,0），C（－4,2,0），P（0,0,4）．

于是＝（0,3,4），＝（－8，0,0），

所以·＝（0,3,4）·（－8,0,0）＝0，

所以⊥，即AP⊥BC.

（2）由

（1）知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上，

所以＝＝，又＝（－4，－5,0），

所以＝＋＝，

则·＝（0,3,4）·＝0，

所以⊥，即AP⊥BM，

又根据

（1）的结论知AP⊥BC，且BC∩BM＝B，

所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.

又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC.

A级

1．已知a＝（2,1，－3），b＝（－1,2,3），c＝（7,6，λ），若a，b，c三向量共面，则λ＝（　　）

A．9　　　　　　　　　B．－9

C．－3D．3

解析：

选B　由题意知c＝xa＋yb，即（7,6，λ）＝x（2,1，－3）＋y（－1,2,3），∴解得λ＝－9.

2．若平面α，β的法向量分别为n1＝（2，－3,5），n2＝（－3,1，－4），则（　　）

A．α∥βB.α⊥β

C．α，β相交但不垂直D．以上均不正确

解析：

选C　∵n1·n2＝2×（－3）＋（－3）×1＋5×（－4）＝－29≠0，∴n1与n2不垂直，又n1，n2不共线，∴α与β相交但不垂直．

3．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝（　　）

A．－1B.0

C．1D．不确定

解析：

选B　如图，令＝a，＝b，＝c，

则·＋·＋·

＝a·（c－b）＋b·（a－c）＋c·（b－a）

＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a

＝0.

4.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别是（　　）

A．x＝，y＝，z＝B.x＝，y＝，z＝

C．x＝，y＝