圆锥曲线的经典求法-设而不求..doc
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圆锥曲线
设而不求法典型试题
在求解直线与圆锥曲线相交问题，特别是涉及到相交弦问题,最值问题,定值问题的时候，采用“设点代入”（即“设而不求”）法可以避免求交点坐标所带来的繁琐计算，同时还要与韦达定理,中点公式结合起来,使得对问题的处理变得简单而自然,因而在做圆锥曲线题时注意多加训练与积累.
1.通常情况下如果只有一条直线，设斜率相对容易想一些，或者多条直线但是直线斜率之间存在垂直，互为相反数之类也可以设斜率需要注意的是设斜率的时候需要考虑：
（1）斜率是否存在
（2）直线与曲线必须有交点也就是判别式必须大于等于0
这种设斜率最后利用韦达定理来计算并且最终消参法，思路清晰，计算量大，特别需要仔细，但是大多也是可以消去高次项，故不要怕大胆计算，最终一定能得到所需要的结果。
2.设点比较难思考在于参数多，计算起来容易信心不足，但是在对于定点定值问题上，只要按题目要求计算，将相应的参数互带，，然后把点的坐标带入曲线方程最终必定能约分，消去参数。
这种方法灵活性强，思考难度大，但是计算简单。
例1：
已知双曲线x2-y2/2=1，过点M（1,1）作直线L，使L与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且点M是线段Q1Q2的中点，问：
这样的直线是否存在？
若存在，求出L的方程；若不存在，说明理由。
解：
假设存在满足题意的直线L，设Q1（X1,Y1），Q2（X2,Y2）
代人已知双曲线的方程，得x12- y12/2=1① ， x22-y22/2=1②
②-①，得（x2-x1）（x2+x1）-（y2-y1）（y2+y1）/2=0。
当x1=x2时，直线L的方程为x=1，此时L与双曲线只有一个交点（1,0）不满足题意；
当x1≠x2时，有（y2-y1）/（x2-x1）=2（x2+x1）/（y2+y1）=2.
故直线L的方程为y-1=2（x-1）
检验：
由y-1=2（x-1），x2-y2/2=1，得2x2-4x+3=0,其判别式
⊿=-8﹤0，此时L与双曲线无交点。
综上，不存在满足题意的直线
1、设、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？
若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
2、已知平面上一定点C（4，0）和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且.
（1）问点P在什么曲线上？
并求出该曲线的方程；
（2）设直线与
（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？
若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.
3、已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
（Ⅰ）求双曲线C2的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.
4、已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.
（I）求点G的轨迹C的方程；
（II）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？
若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.
练习5,已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
练习6,已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线
分别交于两点
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；
练习7．已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为
（I）证明线段是圆的直径;
（II）当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值
答案：
练习11、解：
（Ⅰ）易知
设P（x，y），则
，
，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k
直线l的方程为
由方程组
依题意
当时，设交点C，CD的中点为R，
则
又|F2C|=|F2D|
∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|
综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|
2、解：
（1）设P的坐标为，由得
（2分）∴（（4分）
化简得∴P点在双曲线上，其方程为（6分）
（2）设A、B点的坐标分别为、，
由得（7分）
，（8分）
∵AB与双曲线交于两点，∴△>0，即
解得（9分）
∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD，∴，
即，（10分）
∴
∴
解得，故满足题意的k值存在，且k值为.
3解：
（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则
故C2的方程为
（II）将
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即①
.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得
解此不等式得
③
由①、②、③得
故k的取值范围为
4、解：
（1）Q为PN的中点且GQ⊥PN
GQ为PN的中垂线|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是………5分
（2）因为，所以四边形OASB为平行四边形
若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形
若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由
矛盾，故l的斜率存在. ………7分
设l的方程为
①
②……………9分
把①、②代入
∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等.
练习3（Ⅰ）解由题意，c＝1,可设椭圆方程为。
因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）证明设直线ＡＥ方程：
得，代入得
设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，
所以，
。
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得
，
。
所以直线EF的斜率。
即直线EF的斜率为定值，其值为。
解4方法一（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为
（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，
从而
由得0
设则得，从而
即又
由得
故
又
当且仅当，即时等号成立
时，线段的长度取最小值
5.解析：
（I）证明1:
整理得:
设M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则
即
整理得:
故线段是圆的直径
证明2:
整理得:
……..
（1）
设（x,y）是以线段AB为直径的圆上则
即
去分母得:
点满足上方程,展开并将
（1）代入得:
故线段是圆的直径
证明3:
整理得:
……
（1）
以线段AB为直径的圆的方程为
展开并将
（1）代入得:
故线段是圆的直径
（II）解法1:
设圆C的圆心为C（x,y）,则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
当y=p时,d有最小值,由题设得
.
解法2:
设圆C的圆心为C（x,y）,则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则
因为x-2y+2=0与无公共点,
所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为
将
（2）代入（3）得
解法3:
设圆C的圆心为C（x,y）,则
圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
又因
当时,d有最小值,由题设得
.
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