江苏省届高考数学模拟试题二解析版.docx
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江苏省届高考数学模拟试题二解析版
江苏省2021届高考数学模拟试题
（二）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
参考公式：
样本数据的方差，其中．
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知复数，其中为虚数单位，则的模为_______________.
【答案】5
【解析】由，得，
所以.
2．集合，，则_____.
【答案】
【解析】因为表示为奇数，故,故答案为：
3．在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为 ．
答对题数
4
8
9
10
人数分布
1
1
2
1
【答案】
【解析】根据表中数据，计算平均数为（4+8+9×2+10）＝8，
方差为s2[（4﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2×2+（10﹣8）2],故答案为：
．
4．某校高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为_____．
【答案】0.2
【解析】高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，
现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，
则高一学生抽取：
52，
高二学生抽取：
52，
高三学生抽取：
51，
再从5位同学中选出2名一等奖，
基本事件个数n10，
记“两名一等奖来自同一年级”，
则事件A包含的基本事件个数m2，
∴事件A的概率为p．
5．如图是一个算法流程图，若输出的实数的值为，则输入的实数的值为______________.
【答案】
【解析】程序的功能是计算，
若输出的实数的值为，
则当时，由得，
当时，由，此时无解,故答案为：
.
6．若将函数的图象沿轴向右平移个单位后所得的图象与的图象关于轴对称，则的最小值为________________.
【答案】
【解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，可得
的图象.
根据图象与的图象关于轴对称，可得，
，，即时，的最小值为.
7．在长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离是______.
【答案】
【解析】由题在长方体中，，
，
所以，所以，
设点到平面的距离为
，解得.
8．已知等比数列的前项和为，若，，则________.
【答案】448
【解析】，且，
、、成等比数列，即，
因此，.
9．已知tan＝2，则cos（）的值为．
【答案】
【解析】cos（）＝
＝．
10．已知正方形ABCD的边长为2，以C为圆心的圆与直线BD相切．若点M是圆C上的动点，则的最小值为．
【答案】
【解析】取AD中点E，由极化恒等式，得
，
故当ME最大时，有最小值，MEmax＝CE＋＝，
∴min＝1﹣＝．
11．在中，已知，且，则面积的最大值为________．
【答案】
【解析】设三角对边分别为a，b，c，
，
，
即
由正弦定理可得，
所以，
由可得，
所以，
所以
当时，面积取得最大值为．
12．在直角三角形中，为直角，，点在线段上，且，若，则的正切值为_____.
【答案】3
【解析】设，，
则
，
故.
13．已知直线l：
x＋my﹣2﹣m＝0（mR）恒过定点A，点B，C为圆O：
上的两动点，满足∠BAC＝90°，则弦BC长度的最大值为．
【答案】
【解析】直线l：
x＋my﹣2﹣m＝0（mR）恒过定点A，可得A（2，1），取BC中点D，
设BC长为2l，则AD＝l，OD＝，OA＝，
根据≥OA，得，解得，
得，即，故BC＝2l的最大值为．
14．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为函数在上单调递减，
所以，即，
所以函数的值域为，
因为对任意的，总存在使得成立，
故的值域是值域的子集，
对，，
当时，，符合题意；
当时，函数在单调递增，所以，
所以解得，又，所以，
综上，实数a的取值范围是．
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求角；
（2）若，的面积，求的值．
【解析】
（1）由，及余弦定理得
，又，得．
因为△ABC为锐角三角形，所以，故．
（2）因为，，根据余弦定理得
，
又，解得．……①
所以，即．
又，所以……②
根据①②得，，所以，的值为1．
16．如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点.
求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
【解析】
（1）在中，因为D,E是是BC,AC的中点，所以AB//DE
又,所以AB//面PDE
（2）因为
所以PAAB,又因为
所以,所以面面PAC.
17．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1，为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成，如图2，已知圆O的半径为10cm，设∠BAO＝θ，0<θ<，圆锥的侧面积为Scm2.
（1）求S关于θ的函数关系式；
（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大，求S取得最大值时腰AB的长度．
（图1） （图2）
【解析】
（1）设AO交BC于点D，过O作OE⊥AB，垂足为E.
在△AOE中，AE＝10cosθ，AB＝2AE＝20cosθ.
在△ABD中，BD＝AB·sinθ＝20cosθ·sinθ，
所以S＝·2π·20sinθcosθ·20cosθ
＝400πsinθcos2θ.
（2）由
（1）得S＝400πsinθcos2θ＝400π（sinθ－sin3θ）．
令x＝sinθ（0则f′（x）＝1－3x2，由f′（x）＝1－3x2＝0得x＝.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
f′（x）
＋
0
－
f（x）
极大值
所以f（x）在x＝时取得极大值，也是最大值．
所以当sinθ＝时，侧面积S取得最大值，
此时等腰三角形的腰长AB＝20cosθ＝20＝20＝（cm）．
答：
侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为cm.
18.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且过点.
求椭圆的方程；
已知是椭圆的内接三角形，
①若点为椭圆的上顶点，原点为的垂心，求线段的长；
②若原点为的重心，求原点到直线距离的最小值.
【解析】设焦距为，由题意知：
，
因此，椭圆的方程为：
；
①由题意知：
，故轴，设，则，，
，解得：
或，
，不重合，故，，故；
②设中点为，直线与椭圆交于，两点，
为的重心，则，
当斜率不存在时，则到直线的距离为1；
设：
，，，则
，
，则
，
则：
，，代入式子得：
，
设到直线的距离为，则
时，；
综上，原点到直线距离的最小值为.
19.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，在各项均为正数的等比数列{bn}中，b1=a1，公比为q，且b2+S2=10，
b2（q+2）=S2．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，数列{cn}的前n项和为Tn，求满足Tn≥12的n的最小值．
【解析】
（1）设{an}的公差为d，则，
∴，
∴an=1+6（n-1）=6n-5，．
（2），，，
∴
=
==，
∴=，，
∴n≥6，n最小值为6．
20．设函数，，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，（）.
（i）求的取值范围；
（ii）求证:
随着的增大而增大.
【解析】
（1）因为，所以
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
当时，解集为，的解集为，
所以的单调增区间为，的单调减区间为；
（2）（i）由
（1）可知，当时，在上单调递增，至多一个零点，不符题意，当时，因为有两个零点，所以，解得，因为，且，所以存在，使得，又因为，设，则，所以单调递增，所以，即，因为，所以存在，使得，综上，；（ii）因为，所以，因为，所以，设，则，所以，解得，所以，所以，设，则，设，则，所以单调递增，所以，所以，即，所以单调递增，即随着的增大而增大，所以随着的增大而增大，命题得证.
数学Ⅱ（附加题）
（考试时间：
30分钟试卷满分：
40分）
注意事项：
1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A.[选修4-2：
矩阵与变换]
已知矩阵．
（1）求；
（2）求．
【解析】
（1）因为，所以.
（2）因为，，所以
所以.
B.[选修4-4：
极坐标与参数方程]
已知两个动点P，Q分别在两条直线l1：
y＝x和l2：
y＝－x上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]．记＝＋，求动点M的轨迹的普通方程．
【解析】设M（x，y），则
两式平方相加得x2＋y2＝2.
又x＝sin，y＝sin，θ∈[0，π]，所以x∈，y∈.
所以动点M轨迹的普通方程为x2＋y2＝2（x，y∈）．
C.[选修4-5：
不等式选讲]
解不等式：
|x－1|＋2|x|≤4x．
【解析】原不等式等价于或或
解得x∈∅；
解得≤x≤1；
解得x＞1.
所以原不等式的解集为.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．
（1）蚊：
这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P（X＝2）”和“恰好有3件不合格的概率P（X＝3）”哪个大？
请说明理由；
（2）求随机变量X的数学期望E（X）．
【解析】由于批量较大，可以认为随机变量,
（1）恰好有2件不合格的概率，
恰好有3件不合格的概率，
∵，
∴，即恰好有2件不合格的概率大；
（2）∵，.
随机变量的概率分布为：
0
1
2
10
故．
23.已
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