高中数学数列教案 苏教版必修5文档格式.docx

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难点：

认识数列的本质是一类离散函数.

对于数列概念这个重点内容的教学，教师应该强调用函数的背景和研究方法来认识、研究数列，这样可以加深学生对函数概念和性质的理解，有利于对数列本质的把握．建构数列的概念首先要经历大量的实例观察与分析，关键是让学生理解数列的顺序性；

其次教师启发学生对几个不同数列的共性进行探究，通过分组讨论，逐步完善，然后揭示出数列的定义．

如何理解数列的本质是一类离散函数呢？

教师首先可以从分析一个简单的数列入手，启发学生发现数列的函数解析式，进而可以用列表法、图象法来表示，由此发现数列的图象是一系列孤立的点，可谓水到渠成；

然后因势利导，进行一般化的抽象，通过数列的定义域与值域之间的一一对应关系的列表，深化对数列是一种特殊函数即离散函数的认识．

●教学建议

1．对数列概念的引入可作适当拓展．一方面从研究数的角度提出数列概念，使学生感受数列是刻画自然规律的基本数学模型；

另一方面可从生活实际引入，如银行存款利息、购房贷款等，使学生对这些现象的数学背景有一直观认识，感受数列研究的现实意义，以激发学生的学习兴趣．

2．对数列概念的把握，教学中应注意：

（1）数列是按照一定顺序排列着的一列数，教学中要注意留给学生回味、思考的空间和余地；

（2）数列是一种特殊函数，其定义域是正整数集N*（或它的有限子集），值域是当自变量顺次从小到大依次取值时的对应值．

3．重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价，关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；

在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式或递推公式．

4．正确评价学生的数学基础知识和基础技能能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数，了解递推公式也是数列的一种表示方法．

●教学流程

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（对应学生用书第17页）

课标解读

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．

2.理解数列的通项公式及简单应用．（重点）

3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．（重点、难点）

数列的概念

【问题导思】　

（1）正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是________．

（2）－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂依次是________．

（3）对于函数y＝3x，当自变量x依次取－2，－1,1,2,3时，其函数值依次是________．

（4）“一尺之棰，日取其半，万世不褐”，如果将初始量看成“1”，取其一半剩“”，再取一半还剩“”……如此下去，即得一列数________．

那么，以上问题的结果，有什么共同特点？

【提示】　共同特点是：

都是一列数；

都有一定的次序．

1．数列

按照一定次序排列的一列数称为数列．

2．项

数列中的每个数都叫做这个数列的项．

3．数列的一般形式

可写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}.

数列的分类

项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.

数列的通项公式

1．数列1，－，，－，…的第n项与序号n之间有何关系？

【提示】　第n项是序号n的倒数，且奇数项为正，偶数项为负．

2．数列2,4,6,8,10，…与函数y＝2x有何关系？

【提示】　该数列是函数y＝2x的自变量x依次取1,2,3,4，…时所得到的一列函数值．

如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

数列的表示法

　数列可以用通项公式、列表或图象来表示.

利用观察法求数列的通项公式

　写出下列数列的一个通项公式．

（1），，，，…；

（2）－1，，－，，－，…；

（3），3，，，3，…；

（4）9,99,999,9999，….

【思路探究】　观察→归纳an与n的关系→验证结论→得出答案

【自主解答】　

（1）根据题意分析可知：

分子为2的倍数，即为2n，分母比分子的平方小1，所以an＝.

（2）该数列的各项符号是负正交替变化，而各项的绝对值为，，，，，….

所以an＝（－1）n.

（3）该数列的各项都可以写成根式，，，，，….

即，，，，，….

所以an＝＝.

（4）因为9＝101－1,99＝102－1,999＝103－1,9999＝104－1，…，所以an＝10n－1.

1．本例中探寻数列中的项与项数n之间的关系时应注意：

（1）对于分式应分母分子分别考虑，各个击破；

（2）正负项交替出现时要引入控制符号的因式（－1）n.

2．此类问题主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法，将数列进行整体变形以便能呈现出与序号n相关且便于表达的关系，具体方法为：

（1）分式中分子、分母的特征；

（2）相邻项的变化特征；

（3）拆项后的特征；

（4）各项的符号特征和绝对值特征．

根据数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式．

（2）1,3,6,10,15，…；

（3）7,77,777，…；

（4），－，，－，…；

【解】　

（1）注意前四项中有三项的分子为4，不妨把分子统一为4，即，，，，…，因而有an＝（n∈N*）．

（2）6＝2×

3,10＝2×

5,15＝3×

5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘2，即，，，，，…，因而有an＝（n∈N*）．

（3）把各项除以7，得1,11,111，…，再乘9，得9,99,999，…，因而有an＝（10n－1）（n∈N*）．

（4）经过观察符号为一正一负：

（－1）n＋1，分子为2n－1，分母为2n，所以an＝（－1）n＋1.

通项公式的应用

　已知数列{an}的通项公式为an＝，

（1）写出此数列的前3项；

（2）试问和是不是它的项？

如果是，是第几项？

【思路探究】　

（1）分别把n＝1,2,3代入通项公式即可．

（2）令an分别等于和，解方程求n，再检验n是否为正整数．

【自主解答】　

（1）a1＝＝1，a2＝＝，a3＝＝.

（2）令＝，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8.

又n∈N*，故n＝－8舍去，所以是数列{an}的第5项．

令＝，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝或n＝－.

又n∈N*，所以不是数列{an}的项．

1．如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．

2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：

（1）将所给的数代入通项公式中；

（2）解关于n的方程；

（3）若n为正整数，说明所给的数是该数列的项；

若n不是正整数，则不是该数列的项．

已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.

（1）写出数列的第4项和第6项；

（2）问－49和68是该数列的项吗？

若是，是第几项？

若不是，请说明理由．

【解】　

（1）∵an＝3n2－28n，

∴a4＝3×

42－28×

4＝－64，

a6＝3×

62－28×

6＝－60.

（2）令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，

∴n＝7或n＝（舍）．

∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.

令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，

∴n＝－2或n＝.

∵－2∉N*，∉N*，

∴68不是该数列的项.

数列的最大项、最小项问题

　已知数列{an}的通项公式是an＝－2n2＋9n＋3，求它的最大项．

【思路探究】　数列是特殊的函数，可将问题转化为二次函数的最值问题，利用二次函数的知识求解．

【自主解答】　已知－2n2＋9n＋3＝－2（n－）2＋.

由于函数f（x）＝－2（x－）2＋在（0，）上是增函数，在[，＋∞）上是减函数，故当n＝2时，f（n）＝－2n2＋9n＋3取得最大值13，所以数列{an}的最大项为a2＝13.

1．解决本题的关键是转化为二次函数的最值问题，并注意n∈N*.

2．数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，故可用函数的有关知识解决数列问题，但要注意函数的定义域．对于通项公式为二次函数的数列，其最值不一定是在对称轴上取得，当对称轴不是正整数时，最值应是离对称轴最近的项的值，且对应的值可能是一项或两项．

若例题中通项公式改为“an＝－2n2＋29n＋3”，结果是什么？

【解】　由题意得

an＝－2n2＋29n＋3＝－2（n－）2＋108，

又∵n∈N*，

∴当n＝7时，an有最大值108.

∴数列an中的最大项为a7＝108.

忽略数列的函数特性而致误

　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－3n＋4，求an的最小值．

【错解】　因为an＝n2－3n＋4＝（n－）2＋，

所以an的最小值为.

【错因分析】　将an＝n2－3n＋4看成关于n的二次函数，当n＝时，取得最小值为，而数列中n∈N*，故n取不到，最小值并不是在顶点处取得．

【防范措施】　解题时不要把数列当成一般的二次函数，数列是特殊的函数，其定义域为正整数集N*（或它的有限子集），图象不连续，是一群孤立的点．

【正解】　因为an＝n2－3n＋4＝（n－）2＋，

可知图象的对称轴方程为n＝，又n∈N*，

故当n＝1或n＝2时，an取得最小值．

其最小值为22－3×

2＋4＝2.

1．基础知识：

（1）数列的概念；

（2）数列的分类；

（3）数列的通项公式；

（4）数列的表示法．

2．基本技能：

（1）利用观察法求数列的通项公式；

（2）运用通项公式研究数列的项；

（3）求数列的最大项与最小项．

3．思想方法：

（1）函数思想；

（2）转化思想.

1．若数列{an}的通项公式an＝，则它的前4项为________．

【解析】　把n＝1,2,3,4逐一代入即可．

【答案】　，，，

2．数列，－，，－，…的一个通项公式是an＝________.

【解析】　偶数项均为负，奇数项均为正，故应用（－1）n＋1控制符号，分子显然为序号的平方，分母均比相应分子大1.

【答案】　（－1）n＋1

3．已知数列1，，，，…，，…，则3是该数列的第________项．

【解析】　令＝3，则2n－1＝45，∴n＝23.

【答案】　23

4．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．

（1）求{an}的通项公式；

（2）88是否是数列