硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析.docx
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硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析
2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析
一、选择题：
（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）当
时，与
等价的无穷小量是
（A）
.（B）
.（C）
.（D）
. [B]
【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.
【详解】当
时，有
；
；
利用排除法知应选（B）.
（2）函数
在
上的第一类间断点是x=
（A）0.（B）1.（C）
.（D）
. [A]
【分析】本题f（x）为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。
【详解】f（x）在
上的无定义点，即间断点为x=0,1,
又
，
，
可见x=0为第一类间断点，因此应选（A）.
（3）如图，连续函数y=f（x）在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设
则下列结论正确的是
（A）
.（B）
.
（C）
.（D）
. [C]
【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f（x）在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
【详解】根据定积分的几何意义，知F
（2）为半径是1的半圆面积：
，
F（3）是两个半圆面积之差：
=
，
因此应选（C）.
（4）设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是
（A）若
存在，则f（0）=0.（B）若
存在，则f（0）=0.
（C）若
存在，则
存在.（D）若
存在，则
存在
[D]
【分析】本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
【详解】（A）,（B）两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f（0）=0.
若
存在，则
，可见（C）也正确，故应选（D）.事实上，可举反例：
在x=0处连续，且
=
存在，但
在x=0处不可导.
（5）曲线
，渐近线的条数为
（A）0.（B）1.（C）2.（D）3. [D]
【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】因为
，所以
为垂直渐近线；
又
，所以y=0为水平渐近线；
进一步，
=
，
=
=
，
于是有斜渐近线：
y=x.故应选（D）.
（6）设函数f（x）在
上具有二阶导数，且
令
则下列结论正确的是
（A）若
，则
必收敛.（B）若
，则
必发散.
（C）若
，则
必收敛.（D）若
，则
必发散. [D]
【分析】利用反例通过排除法进行讨论。
【详解】设f（x）=
则f（x）在
上具有二阶导数，且
，但
发散，排除（C）;设f（x）=
则f（x）在
上具有二阶导数，且
，但
收敛，排除（B）;又若设
，则f（x）在
上具有二阶导数，且
，但
发散，排除（A）.故应选（D）.
（7）二元函数f（x,y）在点（0，0）处可微的一个充分条件是
（A）
.
（B）
，且
.
（C）
.
（D）
，且
. [C]
【详解】选项（A）相当于已知f（x,y）在点（0,0）处连续，选项（B）相当于已知两个一阶偏导数
存在，因此（A）,（B）均不能保证f（x,y）在点（0，0）处可微。
选项（D）相当于已知两个一阶偏导数
存在，但不能推导出两个一阶偏导函数
在点（0,0）处连续，因此也不能保证f（x,y）在点（0，0）处可微。
若
，则
，即
同理有
从而
=
=0
根据可微的定义，知函数f（x,y）在（0，0）处可微，故应选（C）.
（8）设函数f（x,y）连续，则二次积分
等于
（A）
.（B）
.
（C）
.（D）
.[B]
【分析】先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。
【详解】积分区域D:
也可表示为
D:
故
=
，应选（B）.
（9）设向量组
线性无关，则下列向量组线性相关的是
（A）
.（B）
.
（C）
.（D）
.[A]
【详解】用定义进行判定:
令
，
得
.
因
线性无关，所以
又
，
故上述齐次线性方程组有非零解,即
线性相关.类似可得（B）,（C）,（D）中的向量组都是线性无关的.
（10）设矩阵
则A与B
（A）合同,且相似.（B）合同,但不相似.
（C）不合同,但相似.（D）既不合同,又不相似.[B]
二、填空题（11－16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）
（11）
=
【详解】
=
=
（12）曲线
上对应于
的点处的法线斜率为
【详解】因为
，于是
，故法线斜率为
（13）设函数
则
=
【详解】
一般地，
，
从而
=
（14）二阶常系数非齐次线性微分方程
的通解为
其中
为任意常数.
【详解】特征方程为
，解得
可见对应齐次线性微分方程
的通解为
设非齐次线性微分方程
的特解为
，代入非齐次方程可得k=−2.故通解为
（15）设f（u,v）是二元可微函数，
则
=
【详解】
，
，于是有
=
（16）设矩阵
则
的秩为1.
【详解】依矩阵乘法直接计算得
故r（
）=1.
三、解答题：
（17－24小题，共86分.）
（17）（本题满分10分）
设f（x）是区间
上的单调、可导函数，且满足
，
其中
是f的反函数，求f（x）.
【分析】等式两端先对x求导，再积分即可。
【详解】在等式
两端先对x求导，得
，
即
，也即
.
于是
=
由题设知,f（0）=0,于是c=0，故
（18）（本题满分11分）
设D是位于曲线
下方、x轴上方的无界区域。
（
）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V（a）;
（
）当a为何值时，V（a）最小?
并求此最小值.
【分析】V（a）的值可通过广义积分进行计算，再按通常方法求V（a）的最小值即可。
【详解】（
）
=
=
（
）
得
，即a=e.
由于a=e是唯一的驻点，是极小值点，也是最小值点，最小值为
（19）（本题满分10分）
求微分方程
满足初始条件
的特解。
【分析】本题为可降阶的二阶微分方程，作变量代换即可。
【详解】令
，则原方程化为
即
，
其解为
利用u=
有C=0,于是
由
知应取
.
再由
，积分得
，代入初始条件y
（1）=1，得
，
故满足初始条件
的特解为
.
（20）（本题满分11分）
已知函数f（u）具有二阶导数，且
，函数y=y（x）由方程
所确定，设
，求
【详解】
，
在
中,令x=0得y=1.而由
两边对x求导得
再对x求导得
将x=0,y=1代入上面两式得
故
（21）（本题满分11分）
设函数f（x）,g（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）=g（a）,f（b）=g（b）,证明：
存在
，使得
【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。
事实上，若令
，则问题转化为证明
只需对
用罗尔定理，关键是找到
的端点函数值相等的区间（特别是两个一阶导数同时为零的点），而利用F（a）=F（b）=0,若能再找一点
，使得
，则在区间
上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对
用罗尔定理即可。
【证明】构造辅助函数
，由题设有F（a）=F（b）=0.又f（x）,g（x）在（a,b）内具有相等的最大值,不妨设存在
使得
，
若
，令
则
若
，因
，从而存在
，使
在区间
上分别利用罗尔定理知，存在
，使得
.
再对
在区间
上应用罗尔定理，知存在
，有
，即
（22）（本题满分11分）
设二元函数
计算二重积分
，其中
【分析】被积函数为分区域函数，利用积分的可加性分区域积分，在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简。
【详解】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有
其中
为D在第一象限的部分.
设
.
因此
.
（23）（本题满分11分）
设线性方程组
与方程
有公共解，求a的值及所有公共解．
【分析】两个方程有公共解就是
与
联立起来的非齐次线性方程组有解.
【详解】将
与
联立得非齐次线性方程组:
若此非齐次线性方程组有解,则
与
有公共解,且
的解即为所求全部公共解.对
的增广矩阵
作初等行变换得:
.
于是1°当a=1时，有
=2<3，方程组
有解,即
与
有公共解,其全部公共解即为
的通解，此时
，
此时方程组
为齐次线性方程组，其基础解系为:
所以
与
的全部公共解为
，k为任意常数.
2°当a=2时，有
=3，方程组
有唯一解,此时
，
故方程组
的解为:
即
与
有唯一公共解:
为
.
（24）（本题满分11分）
设3阶对称矩阵Ａ的特征值
是Ａ
的属于
的一个特征向量,记
其中
为3阶单位矩阵.
（
）验证
是矩阵Ｂ的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量．
（
）求矩阵Ｂ．
【分析】根据特征值的性质可立即得B的特征值,然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.
【详解】（
）由
得
进一步
，
故
，
从而
是矩阵Ｂ的属于特征值−2的特征向量.
因
及Ａ的3个特征值
得
B的3个特征值为
.
设
为B的属于
的两个线性无关的特征向量,又
Ａ为对称矩阵，得B也是对称矩阵,因此
与
正交,即
所以
可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：
其基础解系为:
故可取
=
=
.
即B的全部特征值的特征向量为:
其中
是不为零的任意常数,
是不同时为零的任意常数.
（
）令
=
则
，
得
=
=
.
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