高二数学教案211《合情推理》新人教A版选修12Word文档下载推荐.docx

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通过举例分析归纳推理与类比推理的异同，让学生对两个概念有较深刻的理解，突出本节重点，通过例题讲解总结归纳推理与类比推理的应用方法及解题规律，强化训练有关题型，化解难点．

●教学建议

1．关于归纳推理的教学

教学时要从具体的事例出发，让学生参与猜测，引导学生归纳，激发学生学习的兴趣，总结归纳推理的过程，让学生自己去发现归纳推理的应用方法与技巧．通过适量的练习使学生掌握观察、猜测、归纳、论证各环节的规律方法，并能灵活应用．

2．关于类比推理的教学

类比推理的难度要大于归纳推理，教学时应该借助实例帮助学生学会分析类比对象之间的异同点，学会由已知对象的性质、特征联想类比对象的相应性质特征．通过适量练习让学生逐步掌握类比的技巧方法．引导学生总结并掌握常见的类比结论．

●教学流程

创设问题情境，引出问题，猜想数列的项及三角形内角和，引入归纳推理的概念．创设问题情境，引出问题，由三角形的性质，推测空间四面体的性质，从而引出类比推理的概念．创设问题情境，通过归纳推理、类比推理的概念，引出合情推理的概念．引导学生分析例题1，找出图案的个数变化，猜想出排列规律，从而计算出第六个图案的个数．总结方法，完成变式训练．

完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．讲解例题3，指出解题误区及如何避免，总结合情推理的应用类型解题方法．引导学生分析例题2，指出相对应的类比元素，三边对四面，高对高推测结论，并给出证明，总结类比方法，引导学生完成互动探究．

课标解读

1.了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理．（重点）

2．能用归纳和类比进行简单的推理．（难点）

3．了解合情推理在数学发现中的作用.

归纳推理

【问题导思】　

1．数列{an}中，a1＝，a2＝，a3＝，a4＝.你能猜出a5的值吗？

【提示】　a5＝.

2．直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°

，你能猜想出什么结论？

【提示】　所有三角形内角和都是180°

.

定义

特征

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理

归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理

类比推理

　已知三角形的如下性质：

（1）三角形的两边之和大于第三边；

（2）三角形的面积等于高与底乘积的.

1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．

【提示】　

（1）四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．

（2）四面体的体积等于底面积与高乘积的.

2．以上两个推理有什么共同特点？

【提示】　都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的．

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理

类比推理是由特殊到特殊的推理

合情推理

1．归纳推理与类比推理有没有共同点？

【提示】　二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论．

2．归纳推理与类比推理得出的结论一定正确吗？

【提示】　不一定正确．

　归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

　有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是（　　）

图2－1－1

A．26　　　　　　　　　B．31

C．32D．36

【思路探究】　本题中图形的变化比较简单，可有两种思路：

第一种，直接查个数，找到变化规律后再猜想；

第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形．

【自主解答】　法一　有菱形纹的正六边形个数如下表：

图案

1

2

3

…

个数

6

11

16

由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×

（6－1）＝31.故选B.

法二　由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹的正六边形围绕（第一个图案）外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块有菱形纹正六边形（每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形），第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×

（6－1）＝31，故选B.

【答案】　B

1．解答本题时，关键是找出相邻图形间正六边形个数的变化规律．

2．对于图形中的归纳推理问题，可从图形中相关元素（点、直线等）的变化规律入手直接求解，也可将其转化为数列问题进行求解．

（2012·

陕西高考）观察下列不等式：

1＋<

，

1＋＋<

1＋＋＋<

………

照此规律，第五个不等式为________．

【解析】　观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．

∴第五个不等式为1＋＋＋＋＋<

【答案】　1＋＋＋＋＋<

　如图2－1－2所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论＋＋＝1.

图2－1－2

证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．

【思路探究】　三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．

【自主解答】　＝＝，

同理，＝，＝.

∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，

∴＋＋＝＝1.

类比上述结论得出以下结论：

如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论＋＋＋＝1.

证明如下：

＝＝，

同理，＝，＝，＝.

∵VP－BCD＋VP－ACD＋VP－ABD＋VP－ABC＝VA－BCD，

∴＋＋＋

＝＝1.

1．类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．

2．平面图形与空间图形类比如下：

平面图形

点

线

边长

面积

线线角

三角形

空间图形

面

体积

二面角

四面体

在本例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A、B、C，那么由a＝b·

cosC＋c·

cosB可类比四面体的什么性质？

【解】　在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，

α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．

猜想S＝S1·

cosα＋S2·

cosβ＋S3·

cosγ.

合情推理的综合应用

　在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；

类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．

（1）写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；

（2）写出该结论一个更为一般的情形（不必证明）．

【思路探究】　结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．

【自主解答】　

（1）数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．

∵等差数列{an}的公差d＝3，

∴（S30－S20）－（S20－S10）

＝（a21＋a22＋…＋a30）－（a11＋a12＋…＋a20）

＝10d＋10d＋…＋10＝100d＝300，

同理可得：

（S40－S30）－（S30－S20）＝300，

所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30

是等差数列，且公差为300.

（2）对于∀k∈N*，都有

数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.

　在等比数列与等差数列的类比中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．

等差数列有如下性质：

若数列{an}是等差数列，则当bn＝时，数列{bn}也是等差数列；

类比上述性质，相应地，若数列{cn}是正项等比数列，则当dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．

【解析】　类比等差数列与等比数列的性质：

定义中“差”与“商”，中项中“和”与“积”，可猜测当dn＝时，{dn}为等比数列．

【答案】　

归纳推理在数阵中的应用

　（12分）观察如图所示的“三角数阵”

　　　　　　　　1…………第1行

　　　　　　　2　2…………第2行

　　　　　　3　4　3…………第3行

　　　　　4　7　7　4…………第4行

　　　　5　11　14　11　5…………第5行

　　　　　　…………

记第n行的第2个数为an（n≥2，n∈N*），请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：

（1）第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；

（2）依次写出a2、a3、a4、a5；

（3）归纳出an＋1与an的关系式．

【思路点拨】　观察数阵，总结规律：

除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出

（1）的结果．

（2）由数阵可直接写出答案．

（3）写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出（3）的结论．

【规范解答】　由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．

（1）6,16,25,25,16,6.4分

（2）a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11.8分

（3）∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，

由此归纳：

an＋1＝an＋n.12分

对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．

1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发展结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．

2．合情推理的过程概括为：

从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想

1．下列说法正确的是（　　）

A．由合情推理得出的结论一定是正确的

B．合情推理必须有前提有结论