第五讲位置与坐标Word文档下载推荐.docx

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6.作一个图形关于一条直线的轴对称分两步：

第一步作出原图形中某些点关于这条直线的对称点；

第二步顺次连接对称点.

7.点（x，y）到x轴的距离为｜y｜，到y轴的距离为｜x｜，到原点的距离为，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）之间的距离.

8.点（x，y）关于x轴的对称点坐标为（x，-y），关于y轴的对称点坐标为（-x，y），将点（x，y）向右或向左平移m个单位得到点（x+m，y）或（x-m，y），再向上或向下平移n个单位得到点（x+m，y+n）或（x-m，y-n）或（x+m,y-n）或（x-m,y+n）.

难点分析：

1.本节知识点多，而且易混淆.为了保证准确，要多作图.同时用好平面直角坐标系是关键，数形结合是重要的思想方法.

2.坐标平面内两点间距离公式可由勾股定理推导出.在表示坐标平面内距离时一定要注意坐标符号有正有负，但距离不为负数，所以表示距离一般都得加绝对值符号.

3.平行于x轴的直线纵坐标相同，平行于y轴的直线横坐标相同.这些都是常用直线，要注意其坐标特征和正确的表示方法（直线x=a或y=a，a是常数）.

4.利用轴对称变换，可以解决几何中的最近距离问题.解决这类问题主要是根据转化思想将直线同一侧的点利用轴对称变换转化到直线两侧，然后根据两点之间线段最短这一原理解决问题.

例1.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形

（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（-4，5），（-1，3）.

（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；

（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；

（3）写出点B′的坐标.

思路点拨：

（1）根据坐标易得y轴在点C的右边一个单位处，x轴在点C的下方3个单位处；

（2）作出A，B，C三点关于y轴对称的三点，顺次连接即可；

（3）根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标.

解题过程：

（1）

（2）如图.

（3）点B′的坐标为（2，1）.

方法归纳：

本题考查了平面直角坐标系的概念及轴对称作图问题.建立平面直角坐标系的关键在于确定原点、x轴、y轴的位置.作轴对称变换图形时，主要即作关键点的对应点.

易错误区：

根据A，C两点的坐标可知A，C两点均在第二象限.如何正确确定平面直角坐标系原点位置是解答本题的关键.

例2.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2017次运动后，点P的坐标是.

根据提供的数据从横纵坐标探索变化规律，不难得出“横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一循环”这一规律，进而可确定点P的坐标.

观察图中数据可知动点P的运动规律是：

横坐标为运动次数，

纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮.

∴经过第2017次运动后，动点P的横坐标为2017，动点P的纵坐标为：

2017÷

4=504余1，

故纵坐标为4个数中第一个，即为1.

∴经过第2017次运动后，动点P的坐标是（2017，1）.

本题为规律探索题，平面直角坐标系内的点坐标包括横坐标和纵坐标，因此需要从两组数据特征去探索规律.

本题的规律也可归纳为运动次数为偶数时，动点P在x轴上，运动次数为奇数时，动点P的纵坐标为1或2，其中运动次数被4除余1时，纵坐标为1，被4除余3时，纵坐标为2，正确归纳出规律是解题关键.

例3.如图，在2×

2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个，请在下面所给的格纸中一一画出.（所给的六个格纸未必全用）.

根据轴对称图形的性质，可先确定对称轴，不同的对称轴有不同的对称图形.

与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形有5个，如图：

方法归纳:

本题主要考查了轴对称图形的定义及对图形的理解能力，确定对称轴是解题的关键.

习惯上水平或竖直的对称轴比较容易被想到，而斜的对称轴容易被漏掉，要注意从不同角度去观察图形.

例4.先阅读下列一段文字，再回答后面的问题.

已知平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式P1P2=（x2-x1）2+（y2-y1）2，同时，当两点所在的直线为坐标轴或平行于坐标轴所在的直线时，两点间的距离公式可简化为｜x2-x1｜或｜y2-y1｜.

（1）已知A（2，4），B（-3，-8），试求A，B两点间的距离；

（2）已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为-1，试求A，B两点间的距离;

（3）已知一个三角形各顶点坐标分别为A（0，6），B（-3，2），C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？

说明理由.

（1）将A，B两点的坐标代入两点间的距离公式即可求得A，B两点间的距离；

（2）根据两点间的距离公式｜y2-y1｜来求A，B两点间的距离;

（3）先将A，B，C三点置于平面直角坐标系中，然后根据两点间的距离公式分别求得AB，BC，AC的长度，最后根据三角形的三条边长来判断该三角形的形状.

（1）∵A（2，4），B（-3，-8），

∴｜AB｜==13，即A，B两点间的距离是13.

（2）∵A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为-1，

∴｜AB｜=｜-1-5｜=6，即A，B两点间的距离是6.

（3）∵一个三角形各顶点坐标分别为A（0，6），B（-3，2），C（3，2），

∴AB=5，BC=6，AC=5.∴AB=AC.

∴△ABC是等腰三角形.

本题考查了两点间的距离公式.解答该题时，先弄清两点在平面直角坐标系中的位置，然后选取合适的公式来求两点间的距离.两点间的距离公式是平面直角坐标系中线段长度计算中的常用公式.

两点间的距离公式是由勾股定理推导而来的，计算时要注意平方和开方运算要正确，特别要注意运算符号要正确.

例5.如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=8，点E为CD边的中点，点P，Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当点P在何处时，四边形APQE的周长最小？

要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可.因此，先在AD上截取线段AF=PQ=2，作点F关于BC的对称点G,连接EG,则此时AP+EQ=EG最小,再设法证得CQ=EC即可求出BP的长度.

解题过程:

如图，在AD上截取线段AF=PQ=2，作点F关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为点Q，过点A作FQ的平行线交BC于一点，即为点P，过点G作

BC的平行线交DC的延长线于点H.

∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°

，∴∠GEH=45°

.

设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x.

在△CQE中，∵∠QCE=90°

，∠CEQ=45°

，∴CQ=EC.

∴6-x=2,解得x=4.

∴当BP=4时，四边形APQE的周长最小.

本题考查了轴对称——最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性.利用轴对称变换将线段和最短问题转化为两点之间线段最短问题去解决是此类问题的主要解题思路.

本题说明CQ=EC是难点，要注意图形中线段之间相等关系的应用和等量之间的转换.

例如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，且OA=AB.

（1）如图1，在图中画出△AOB关于BO的轴对称图形△A1OB，若点A的坐标为（-3，1），请求出点A1的坐标;

（2）当△AOB绕着原点O旋转到如图2所示的位置时，AB与y轴交于点E，且AE=BE.AF⊥y轴交BO于点F，连接EF，作AG∥EF交y轴于点G.试判断△AGE的形状，并说明理由；

（3）当△AOB绕着原点O旋转到如图3所示的位置时，若A（，3），点C为x轴上一点，且OC=OA，∠BOC=15°

，点P为y轴上一点，过点P作PN⊥AC于点N，PM⊥AO于点M，当点P在y轴正半轴上运动时，试探索下列结论：

①PO+PN-PM不变；

②PO+PM+PN不变.其中哪一个结论是正确的？

请说明理由并求出其值.

图1图2图3

（1）过点A，A1分别作x轴的垂线段，由三角形全等可求得点A1的坐标；

（2）过点B作BH⊥AB，交AF的延长线于点H，可得△AEO≌△BHA，再证△BEF≌△BHF，可得∠BHF=∠BEF，再由AG∥EF，易得∠EAG=∠AEG，则AG=EG；

（3）过点A作AL⊥x轴于点L，连接AP，PC，易得AL=3，再由∠AOC=45°

+15°

=60°

，OC=OA，可得△AOC为等边三角形，根据S△AOC=S△POC+S△PAC-S△POA易得PO+PN-PM=AL=3.

（1）如图4，△A1OB为所画的轴对称图形.过点A作AC⊥x轴于点C，A1D⊥x轴于点D.

∵A（-3，1），∴AC=1，OC=3.∵OA=AB，∠BAO=90°

，∴∠BOA=45°

.∴∠BOA1=45°

∴∠AOA1=90°

.∴∠AOC+∠A1OD=90°

又∵∠AOC+∠OAC=180°

-∠ACO=90°

，∴∠CAO=∠A1OD.

又∵∠ACO=∠ODA1=90°

，AO=A1O，∴△ACO≌△ODA1.∴AC=OD=1，OC=A1D=3.

∴点A1的坐标为（1，3）.

图4图5图6

（2）△AGE为等腰三角形.理由如下：

如图5，过点B作BH⊥AB，交AF的延长线于点H.

∵∠OAE=∠ABH=90°

，∠AOE=∠BAH=90°

-∠OAH，OA=AB，∴△AEO≌△BHA.

∴AE=BH=BE，∠AEO=∠BHA.

又∵∠EBF=∠HBF=45°

，BF=BF，∴△BEF≌△BHF.∴∠BHF=∠BEF.

∵AG∥EF，∴∠EAG=∠BEF.∴∠EAG=∠AEG.∴AG=EG，即△AGE为等腰三角形.

（3）PO+PN-PM不变.理由如下：

如图6，过点A作AL⊥x轴于点L，连接AP，PC.∵A（，3），∴AL=3.

∵∠AOC=45°

，OC=OA，∴△AOC为等边三角形，即OA=AC=OC.

∵S△POC=PO·

OC，S△PAC=PN·

AC，S△POA=PM·

OA，S△AOC=AL·

OC，

且S△AOC=S△POC+S△PAC-S△POA，∴S△AOC=AL·

OC=PO·

OC+PN·

AC-PM·

OA.∴PO+PN-PM=AL=3.

本题综合性强，综合考查了轴对称的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定、三角形的面积等知识点，难度较大.作辅助线是关键，同时应注意充分利用已知条件解答.

第（3）题的图形较复杂，尤其是要注意不要搞错各个三角形之间的面积和差关系，注意理清各个三角形的底和高.

拓展