椭圆练习题经典归纳Word文件下载.docx

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（1）建立直角坐标系

（2）设点：

将所求点坐标设为，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）

（3）列式：

从已知条件中发掘的关系，列出方程

（4）化简：

将方程进行变形化简，并求出的范围

4.设直线方程

设直线方程：

若直线方程未给出，应先假设.

（1）若已知直线过点，则假设方程为；

（2）若已知直线恒过轴上一点，则假设方程为；

（3）若仅仅知道是直线，则假设方程为

【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；

（4）若已知直线恒过轴上一点，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设

直线为。

【反斜截式，】不含垂直于y轴的情况（水平线）

圆C的方程为：

（1）若直线过点且与圆C相交于A,B两点，且,求直线方程.

（2）若直线过点且与圆C相切，求直线方程.

（3）若直线过点且与圆C相切，求直线方程.

附加：

.

若直线过点且与圆C相交于P、Q两点，求最大时的直线方程.

椭圆

1、椭圆概念

平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

若为椭圆上任意一点，则有.

注意：

表示椭圆；

表示线段；

没有轨迹；

2、椭圆标准方程

椭圆方程为，设，则化为

这就是焦点在轴上的椭圆的标准方程,这里焦点分别是，，且.

类比：

写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的

标准方程．

椭圆标准方程：

（）（焦点在x轴上）

或（）（焦点在y轴上）。

注：

（1）以上方程中的大小，其中；

（2）要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小，“谁大焦点在谁上”

一、求解椭圆方程

1已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________.

2.椭圆的焦距是（）

A．2B．C．D．

3.若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（）

A．B．C．D．

4.过点（3,－2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是（）

A.B.C.D.

5.椭圆的两个焦点是F1（－1,0）,F2（1,0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是.（）

A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1

二、椭圆定义的应用

1.椭圆上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为３,则P到另一焦点距离为（）

A．2　B．3C．5D．7

2．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是（）

A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段

3．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（）

A．B．2C．D．1

4．椭圆上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|为（）

A.4B.2C.8D.

5．椭圆的焦点为和，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，那么是的

A．4倍B．5倍C．7倍D．3倍

三、求椭圆轨迹方程

1．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是

A．椭圆B．直线C．线段D．圆

2.设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程

3.已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为

4.P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹方程为

A、B、C、D、=1

5.动圆与圆O：

外切，与圆C：

内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：

A.抛物线B.圆C.椭圆D.双曲线一支

6.设与定点的距离和它到直线：

的距离的比是常数，求点的轨迹方程．

四、焦点三角形

1．椭圆的焦点、，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（）

　　A．9B．12C．10D．8

2．是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且∠，则Δ的面积为

3．若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是

A.2B.1C.D.

4.若为椭圆上的一点，为左右焦点，若，求点P到x轴的距离.

5．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为.

6.若在椭圆上的一点，为左右焦点，若的最大值为，则椭圆的方程为.

7.P为椭圆上一点,为焦点，满足的点的个数为.

五、椭圆的简单几何性质

①范围；

②对称；

③顶点；

④离心率：

（），刻画椭圆的扁平程度.

把椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

1.椭圆的长轴长等于____________,短半轴长等于____________,焦距_________,左焦点坐标____________,离心率________，顶点坐标_________.

求离心率（构造的齐次式，解出）

1.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（）

A．或B．

C．或D．或

2.已知椭圆的离心率为，求．

3.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是

4.若椭圆短轴端点为满足，则椭圆的离心率为．

5.已知则当mn取得最小值时，椭圆的离心率为．

6.椭圆（a>

b>

0）的两顶点为A（a,0）B（0,b）,若右焦点F到直线AB的距离等于∣AF∣，则椭圆的离心率为．

7.以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率为．

8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为．

9.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是．

10.设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是．

六、直线与椭圆的位置关系

联立直线与椭圆方程，消参数，得关于或的一个一元二次方程；

（1）相交：

，直线与椭圆有两个交点；

（2）相切：

，直线与椭圆有一个交点；

（3）相离：

，直线与椭圆无交点；

弦长公式：

若直线与椭圆相交于两点，求弦长的步骤：

设，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）：

消去整理成关于的一元二次方程：

，

则是上式的两个根，；

由韦达定理得：

又两点在直线上，故，则，从而

【注意：

如果联立方程组消去整理成关于的一元二次方程：

，则

=

1.已知椭圆方程为与直线方程相交于A、B两点，求AB=____________.

2.设抛物线截直线所得的弦长长为，求=___________.

3.椭圆方程为,通径=__________.

4.椭圆上的点到直线的最大距离是（）

A．3B．C．D．

点差法

1．椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为．

2.过椭圆M:

=1（a＞b＞0）右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.求M的方程．

综合问题

1.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线（注：

左右准线方程为）间的距离为4

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l过点P（0,2）且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.

2.已知椭圆G：

，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（2）将表示为m的函数，并求的最大值。

3.已知椭圆C:

=1（a＞b＞0）的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.

4.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：

直线过定点，并求出该定点的坐标