椭圆练习题经典归纳Word文件下载.docx
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(1)建立直角坐标系
(2)设点:
将所求点坐标设为,同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示)
(3)列式:
从已知条件中发掘的关系,列出方程
(4)化简:
将方程进行变形化简,并求出的范围
4.设直线方程
设直线方程:
若直线方程未给出,应先假设.
(1)若已知直线过点,则假设方程为;
(2)若已知直线恒过轴上一点,则假设方程为;
(3)若仅仅知道是直线,则假设方程为
【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论;
(4)若已知直线恒过轴上一点,且水平线不满足条件(斜率为0),可以假设
直线为。
【反斜截式,】不含垂直于y轴的情况(水平线)
圆C的方程为:
(1)若直线过点且与圆C相交于A,B两点,且,求直线方程.
(2)若直线过点且与圆C相切,求直线方程.
(3)若直线过点且与圆C相切,求直线方程.
附加:
.
若直线过点且与圆C相交于P、Q两点,求最大时的直线方程.
椭圆
1、椭圆概念
平面内与两个定点、的距离的和等于常数2(大于)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。
若为椭圆上任意一点,则有.
注意:
表示椭圆;
表示线段;
没有轨迹;
2、椭圆标准方程
椭圆方程为,设,则化为
这就是焦点在轴上的椭圆的标准方程,这里焦点分别是,,且.
类比:
写出焦点在轴上,中心在原点的椭圆的
标准方程.
椭圆标准方程:
()(焦点在x轴上)
或()(焦点在y轴上)。
注:
(1)以上方程中的大小,其中;
(2)要分清焦点的位置,只要看和的分母的大小,“谁大焦点在谁上”
一、求解椭圆方程
1已知方程表示椭圆,则的取值范围为__________.
2.椭圆的焦距是()
A.2B.C.D.
3.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点,则椭圆方程是()
A.B.C.D.
4.过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是()
A.B.C.D.
5.椭圆的两个焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则该椭圆方程是.()
A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1
二、椭圆定义的应用
1.椭圆上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为()
A.2 B.3C.5D.7
2.设定点F1(0,-3)、F2(0,3),动点P满足条件,则点P的轨迹是()
A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段
3.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点,则、与椭圆的另一焦点构成,那么的周长是()
A.B.2C.D.1
4.椭圆上的点M到焦点F1的距离是2,N是MF1的中点,则|ON|为()
A.4B.2C.8D.
5.椭圆的焦点为和,点P在椭圆上,若线段的中点在y轴上,那么是的
A.4倍B.5倍C.7倍D.3倍
三、求椭圆轨迹方程
1.F1、F2是定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则点M的轨迹是
A.椭圆B.直线C.线段D.圆
2.设,的坐标分别为,.直线,相交于点,且它们的斜率之积为,求点的轨迹方程
3.已知圆为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,则点M的轨迹方程为
4.P是椭圆=1上的动点,过P作椭圆长轴的垂线,垂足为M,则PM中点的轨迹方程为
A、B、C、D、=1
5.动圆与圆O:
外切,与圆C:
内切,那么动圆的圆心M的轨迹是:
A.抛物线B.圆C.椭圆D.双曲线一支
6.设与定点的距离和它到直线:
的距离的比是常数,求点的轨迹方程.
四、焦点三角形
1.椭圆的焦点、,P为椭圆上的一点,已知,则△的面积为()
A.9B.12C.10D.8
2.是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且∠,则Δ的面积为
3.若点在椭圆上,、分别是椭圆的两焦点,且,则的面积是
A.2B.1C.D.
4.若为椭圆上的一点,为左右焦点,若,求点P到x轴的距离.
5.设是椭圆上的一点,是椭圆的两个焦点,则的最大值为.
6.若在椭圆上的一点,为左右焦点,若的最大值为,则椭圆的方程为.
7.P为椭圆上一点,为焦点,满足的点的个数为.
五、椭圆的简单几何性质
①范围;
②对称;
③顶点;
④离心率:
(),刻画椭圆的扁平程度.
把椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
1.椭圆的长轴长等于____________,短半轴长等于____________,焦距_________,左焦点坐标____________,离心率________,顶点坐标_________.
求离心率(构造的齐次式,解出)
1.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为,长轴长为12,则椭圆方程为()
A.或B.
C.或D.或
2.已知椭圆的离心率为,求.
3.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆的离心率是
4.若椭圆短轴端点为满足,则椭圆的离心率为.
5.已知则当mn取得最小值时,椭圆的离心率为.
6.椭圆(a>
b>
0)的两顶点为A(a,0)B(0,b),若右焦点F到直线AB的距离等于∣AF∣,则椭圆的离心率为.
7.以椭圆的右焦点F2为圆心作圆,使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点,椭圆的左焦点为F1,直线MF1与圆相切,则椭圆的离心率为.
8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为.
9.已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是.
10.设分别是椭圆()的左、右焦点,若在其右准线上存在使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是.
六、直线与椭圆的位置关系
联立直线与椭圆方程,消参数,得关于或的一个一元二次方程;
(1)相交:
,直线与椭圆有两个交点;
(2)相切:
,直线与椭圆有一个交点;
(3)相离:
,直线与椭圆无交点;
弦长公式:
若直线与椭圆相交于两点,求弦长的步骤:
设,联立方程组(将直线方程代入椭圆方程):
消去整理成关于的一元二次方程:
,
则是上式的两个根,;
由韦达定理得:
又两点在直线上,故,则,从而
【注意:
如果联立方程组消去整理成关于的一元二次方程:
,则
=
1.已知椭圆方程为与直线方程相交于A、B两点,求AB=____________.
2.设抛物线截直线所得的弦长长为,求=___________.
3.椭圆方程为,通径=__________.
4.椭圆上的点到直线的最大距离是()
A.3B.C.D.
点差法
1.椭圆内有一点P(3,2)过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的方程为.
2.过椭圆M:
=1(a>b>0)右焦点的直线交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.求M的方程.
综合问题
1.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线(注:
左右准线方程为)间的距离为4
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点,当ΔAOB面积取得最大值时,求直线l的方程.
2.已知椭圆G:
,过点(m,0)作圆的切线l交椭圆G于A,B两点。
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(2)将表示为m的函数,并求的最大值。
3.已知椭圆C:
=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
4.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:
直线过定点,并求出该定点的坐标