高考数学一轮复习第七章不等式73二元一次不等式组与简单的线性规划问题文文档格式.docx

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满足线性约束条件的解

可行域

所有可行解组成的集合

最优解

使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

3.重要结论

（1）画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

①直线定界：

不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；

②特殊点定域：

若直线不过原点，特殊点常选原点；

若直线过原点，则特殊点常选取（0,1）或（1,0）来验证．

（2）利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：

对于Ax＋By＋C>

0或Ax＋By＋C<

0，则有

①当B（Ax＋By＋C）>

0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；

②当B（Ax＋By＋C）<

0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．

（3）最优解和可行解的关系：

最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）不等式Ax＋By＋C>

0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．（　×

　）

（2）线性目标函数的最优解可能是不唯一的．（　√　）

（3）目标函数z＝ax＋by（b≠0）中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．（　×

（4）不等式x2－y2<

0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．（　√　）

1．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．

答案　

解析　两直线方程分别为x－2y＋2＝0与x＋y－1＝0.

由（0,0）点在直线x－2y＋2＝0右下方可知x－2y＋2≥0，

又（0,0）点在直线x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0，

即为所表示的可行域．

2．（教材改编）不等式组表示的平面区域是________．

答案　③

解析　用特殊点代入，比如（0,0），容易判断为③.

3．若实数x，y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是________．

答案　2

解析　因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直，

所以如图所示的可行域为直角三角形，

易得A（0,1），B（1,0），C（2,3），故AB＝，AC＝2，

其面积为×

AB×

AC＝2.

4．（2015·

北京改编）若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为________．

解析　可行域如图所示．目标函数化为y＝－x＋z，

当直线y＝－x＋z过点A（0,1）时，z取得最大值2.

5．（教材改编）投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；

投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________（用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨）．

解析　用表格列出各数据

A

B

总数

产品吨数

x

y

资金

200x

300y

1400

场地

100y

900

所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1400,200x＋100y≤900.

题型一　二元一次不等式（组）表示的平面区域

命题点1　不含参数的平面区域问题

例1　

（1）不等式（x－2y＋1）（x＋y－3）≤0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示），应是下列图形中的________．

（2）不等式组所表示的平面区域的面积等于________．

答案　

（1）③　

（2）

解析　

（1）（x－2y＋1）（x＋y－3）≤0⇒

或画出平面区域后，只有③符合题意．

（2）由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A（0，），B（1,1），C（0,4），

则△ABC的面积为×

1×

＝.

命题点2　含参数的平面区域问题

例2　若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是____________________________________________________________．

解析　不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx＋过定点.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．

因为A（1,1），B（0,4），所以AB中点D.

当y＝kx＋过点时，＝＋，

所以k＝.

思维升华　

（1）求平面区域的面积：

①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；

②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形（如平行四边形或梯形），可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．

（2）利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．

（1）不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为________．

（2）已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为________．

答案　

（1）[3，＋∞）　

（2）1

解析　

（1）直线y＝kx－1过定点M（0，－1），由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C（1,2）时，k最小，此时kCM＝＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞）．

（2）由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只有可能x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直．

①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求．

②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求．

题型二　求目标函数的最值问题

命题点1　求线性目标函数的最值

例3　（2014·

广东）若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝________.

答案　6

解析　画出可行域，如图阴影部分所示．

由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.

由得

∴A（－1，－1）．

∴B（2，－1）．

当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×

（－1）－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmax＝2×

2－1＝3＝m，故m－n＝6.

命题点2　求非线性目标函数的最值

例4　实数x，y满足

（1）若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；

（2）若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．

解　由作出可行域，

如图中阴影部分所示．

（1）z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，

因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率（直线OA的斜率不存在，即zmax不存在）．

由得B（1,2），

∴kOB＝＝2，即zmin＝2，

∴z的取值范围是[2，＋∞）．

（2）z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．

因此x2＋y2的值最小为OA2（取不到），最大值为OB2.

由得A（0,1），

∴OA2＝（）2＝1，OB2＝（）2＝5，

∴z的取值范围是（1,5]．

引申探究

1．若z＝，求z的取值范围．

解　z＝可以看作过点P（1,1）及（x，y）两点的直线的斜率．

∴z的取值范围是（－∞，0）．

2．若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值．

解　z＝x2＋y2－2x－2y＋3

＝（x－1）2＋（y－1）2＋1，

而（x－1）2＋（y－1）2表示点P（1,1）与Q（x，y）的距离的平方，（PQ2）max＝（0－1）2＋（2－1）2＝2，

（PQ2）min＝（）2＝，

∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝.

命题点3　求线性规划的参数

例5　已知a>

0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.

解析　作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）．

易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，

由

得

∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.

思维升华　

（1）先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．

（2）当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：

①表示点（x，y）与原点（0,0）的距离，表示点（x，y）与点（a，b）的距离；

②表示点（x，y）与原点（0,0）连线的斜率，表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

（3）当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．

（1）（2015·

无锡一模）在直角坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为，则t的值为________．

（2）（2014·

安徽改编）x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．

答案　

（1）1　

（2）2或－1

解析　

（1）

不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由解得交点B（t，t＋1），在y＝x＋1中，令x＝0得y＝1，即直线y＝x＋1与y轴的交点为C（0,1），由平面区域的面积S＝＝，得t2＋2t－3＝0，解得t＝1或t＝－3（不合题意，舍去）．

（2）如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，

故当a>

0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；

当a<

0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.

题型三　线性规划的实际应用

例6　某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

解　设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z＝1600x＋2400y.由题意，得x，y满足约束条件

作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7,14），R（15,6）．

由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上的截距最小，即z取得最小值．

故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．

思维升华　解线性规划应用问题的一般步骤：

（1）分析题