商丘二模 河南省商丘市届高三第二次模拟考试数学理试题 扫描版含答案Word下载.docx
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则……………………………………………………2分
得……………………………………………………………………4分
.………………………………………………6分
法二：
是等差数列且，，
又……………………………………………2分
，，…………………………3分
………………………………………………4分
.……………………………………………………………6分
（Ⅱ），且，.
当时，
，……8分
当时，满足上式，.……………………9分
.………………………………10分
.………12分
（18）解：
（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为事件.……………………………………1分
而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，
故,………………………3分
从而.…………………………………4分
（Ⅱ）显然，随机变量的所有可能取值为.……………………5分
且.………………………………………6分
故，，
，，
.
则的分布列为
………………………………10分
故的数学期望为.……………………12分
（19）解：
（Ⅰ）证明：
取的中点，连接．
∵，∴.……………………1分
又四边形是菱形，且，
∴是等边三角形，∴.………………2分
又，∴，
又，∴.……………………………………4分
（Ⅱ）由，，易求得，，
∴，.……………………………5分
以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系，则，，，，
∴，，.………………6分
设平面的一个法向量为，则，，
∴，∴，，∴.………8分
∴，∴，，∴.……10分
∴，
∵二面角为钝角，∴二面角的余弦值为.12分
（20）解：
（Ⅰ）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，
∴圆心到直线的距离（*）………………1分
∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴,，代入（*）式得，∴，
故所求椭圆方程为………………………4分
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，
将直线方程代入椭圆方程得：
，
∴，∴.
设,，则，…………6分
由，
当,直线为轴，点在椭圆上适合题意；
…………7分
当，得
∴.……………………8分
将上式代入椭圆方程得：
，
整理得：
，由知，，…10分
所以，…………………………11分
综上可得.…………………………12分
（21）解：
（Ⅰ）当时，，
则，…………………1分
令，得或；
令，得，
∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.……………4分
（Ⅱ）由题意，
（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为.……6分
（2）当时，令，有，，
①当时，函数在上单调递增，显然符合题意.……7分
②当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且，
要使对任意实数，当时，函数的最大值为，只需，解得，又，
所以此时实数的取值范围是.……………9分
③当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，要存在实数，使得当时，
函数的最大值为，需，
代入化简得，①
令，因为恒成立，故恒有，所以时，①式恒成立，
综上，实数的取值范围是.……………12分
（22）解：
（Ⅰ）∵与⊙相切于点，
∴.…………………2分
又，
∴，
∴.…………………………5分
（Ⅱ）∵四边形内接于⊙，
∴，……………6分
又，∴∽.……8分
∴，即，∴.………10分
（23）解：
（Ⅰ），,……3分
，即.……………5分
（Ⅱ）解法一：
由已知可得，曲线上的点的坐标为，
所以，曲线上的点到直线的距离
.………10分
解法二：
曲线为以为圆心，为半径的圆.圆心到直线的距离为,
所以，最大距离为.………………10分
（24）解：
（Ⅰ）不等式可化为，…………1分
∴，即,……2分
∵其解集为，∴，.………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（方法一：
利用基本不等式）
∵，
∴，∴当且仅当时，取最小值为.………10分
.（方法二：
利用柯西不等式）
∴，∴当且仅当时，取最小值为.……10分
（方法三：
消元法求二次函数的最值）
∵，∴，
∴当且仅当时，取最小值为.…………10分
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