版一轮同步优化探究理数北师大版练习第八章 第九节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 含解Word文档下载推荐.docx
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＋＝1（a>
b>
0）截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有（ ）
①y＝2x－3；
②y＝2x＋1；
③y＝－2x－3；
④y＝－2x＋3.
A．1条B．2条
C．3条D．4条
直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.
3．（2018·
郴州模拟）过点P（－，0）作直线l与圆O：
x2＋y2＝1交于A、B两点，O为坐标原点，设∠AOB＝θ，且θ∈，当△AOB的面积为时，直线l的斜率为（ ）
A.B．±
C.D．±
∵△AOB的面积为，
∴×
1×
sinθ＝，
∴sinθ＝.
∵θ∈，∴θ＝，
∴圆心到直线l的距离为.
设直线l的方程为y＝k（x＋），
即kx－y＋k＝0，
∴＝，
∴k＝±
.
B
4．已知过定点（1,0）的直线与抛物线x2＝y相交于不同的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（x1－1）（x2－1）＝.
设过定点（1,0）的直线的方程为y＝k（x－1），代入抛物线方程x2＝y得x2－kx＋k＝0，故x1＋x2＝k，x1x2＝k，因此（x1－1）（x2－1）＝x1x2－（x1＋x2）＋1＝1.
1
5．已知双曲线－＝1（a>
0，b>
0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py（p>
0）的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为．
抛物线x2＝2py的准线方程为y＝－，与双曲线的方程联立得x2＝a2（1＋），根据已知得a2（1＋）＝c2①.由|AF|＝c，得＋a2＝c2②.由①②可得a2＝b2，即a＝b，所以所求双曲线的渐近线方程是y＝±
x.
y＝±
x
6．过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若使得|AB|＝λ的直线l恰有3条，则λ＝.
∵使得|AB|＝λ的直线l恰有3条．
∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．
此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，可得y＝±
2，故|AB|＝4.
∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，
∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，
综上可知|AB|＝4时，有三条直线满足题意．
∴λ＝4.
4
7．设椭圆E的方程为＋＝1（a>
0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a,0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
（1）求E的离心率e；
（2）设点C的坐标为（0，－b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．
（1）由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝，
进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.
（2）由题设条件和
（1）的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNS·
kAB＝－1，
从而有解得b＝3.
所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.
8.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P（2，），且它的离心率e＝.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）与圆（x－1）2＋y2＝1相切的直线l：
y＝kx＋t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足＋＝λ，求实数λ的取值范围．
（1）设椭圆的标准方程为＋＝1（a>
0），
由已知得：
解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）因为直线l：
y＝kx＋t与圆（x－1）2＋y2＝1相切，
所以＝1⇒2k＝（t≠0），
把y＝kx＋t代入＋＝1并整理得：
（3＋4k2）x2＋8ktx＋（4t2－24）＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1＋x2＝－，
y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k（x1＋x2）＋2t＝，
因为λ＝（x1＋x2，y1＋y2），
所以C，
又因为点C在椭圆上，所以，
＋＝1
⇒λ2＝＝，
因为t2>
0，所以2＋＋1>
1，
所以0<
λ2<
2，所以λ的取值范围为（－，0）∪（0，）．
B组——能力提升练
1．已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1（a>
0，b<
0）的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为（ ）
A．－B．－
C．－D．－
由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A（x1，y1），
B（x2，y2），则有ax＋by＝0①，ax＋by＝0②，由①－②得a（x－x）＝－b（y－y），即a（x1＋x2）（x1－x2）＝－b（y1＋y2）（y1－y2），由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，∴·
＝－，设AB的中点为M（x0，y0），则kOM＝＝＝＝－，又知kAB＝－1，∴－×
（－1）＝－，∴＝－，故选A.
A
2．已知双曲线－＝1（a>
0）的实轴长为4，虚轴的一个端点与抛物线x2＝2py（p>
0）的焦点重合，直线y＝kx－1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p＝（ ）
A．4B．3
C．2D．1
由抛物线x2＝2py（p>
0）可知其焦点为，所以b＝，又a＝2，因此双曲线的方程为－＝1，渐近线方程为y＝±
x.直线y＝kx－1与双曲线的一条渐近线平行，不妨设k＝，由可得x2＝2p＝x－2p，得x2－x＋2p＝0，则Δ＝2－8p＝0，解得p＝4.故选A.
3．在抛物线y＝x2上关于直线y＝x＋3对称的两点M，N的坐标分别为．
设直线MN的方程为y＝－x＋b，代入y＝x2中，
整理得x2＋x－b＝0，令Δ＝1＋4b>
0，
∴b>
－.
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝－1，
＝－＋b＝＋b，
由在直线y＝x＋3上，
即＋b＝－＋3，解得b＝2，
联立得
（－2,4），（1,1）
4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝.
抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，焦点为F（1,0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．由抛物线的定义可知|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，所以y1＝±
2，由抛物线关于x轴对称，假设A（2,2），由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y－0＝2（x－1），代入抛物线方程消去y得2x2－5x＋2＝0，求得x＝2或，所以x2＝，故|BF|＝.
5．定义：
在平面内，点P到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P到曲线Γ的距离．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：
（x－）2＋y2＝12及点A（－，0），动点P到圆M的距离与到点A的距离相等，记P点的轨迹为曲线W.
（1）求曲线W的方程；
（2）过原点的直线l（l不与坐标轴重合）与曲线W交于不同的两点C，D，点E在曲线W上，且CE⊥CD，直线DE与x轴交于点F，设直线DE、CF的斜率分别为k1、k2，求.
（1）由题意知：
点P在圆内且不为圆心，易知|PA|＋|PM|＝2>
2＝|AM|，所以P点的轨迹为以A、M为焦点的椭圆，设椭圆方程为＋＝1（a>
0），则⇒
所以b2＝1，故曲线W的方程为＋y2＝1.
（2）设C（x1，y1）（x1y1≠0），E（x2，y2），则D（－x1，－y1），则直线CD的斜率为kCD＝，又CE⊥CD，所以直线CE的斜率是kCE＝－，记－＝k，设直线CE的方程为y＝kx＋m，由题意知k≠0，m≠0，由得（1＋3k2）x2＋6mkx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝－，
∴y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2m＝，
由题意知x1≠x2，
∴k1＝kDE＝＝－＝，
∴直线DE的方程为y＋y1＝（x＋x1），
令y＝0，得x＝2x1，
即F（2x1,0）．
可得k2＝－.
∴＝－.
6．已知椭圆K：
0）的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
（1）求K的方程；
（2）过F2的直线l交K于A，B两点，M为AB的中点，连接OM并延长交K于点C，若四边形OACB的面积S满足：
a2＝S，求直线l的斜率．
（1）由题意得，解得
故椭圆K的方程为＋y2＝1.
（2）由于直线l的倾斜角不可为零，所以设直线l的方程为my＝x－1，
与＋y2＝1联立并化简可得（m2＋2）y2＋2my－1＝0.
设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
可得y0＝－，x0＝my0＋1＝.
设C（x，y），又＝λ（λ>
所以x＝λx0，y＝λy0.
因为C在K上，故λ2（＋y）＝1⇒m2＋2＝λ2.①
设h1为点O到直线l的距离，h2为点C到直线l的距离，则＝＝⇒h2＝（λ－1）h1.
又由点到直线的距离公式得，
h1＝＝.
而|AB|＝·
＝＝，
所以S＝|AB|（h1＋h2）＝·
＝.
由题意知，S＝＝，所以＝⇒λ＝.
将λ＝代入①式得m＝±
1，所以直线l的斜率为±
1.
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