高级微观经济学数学准备Word格式.docx

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仅当我们限定它为严格凹形函数时，绝对值才可能是唯一的。

1.3凹（凸）函数与凸集的关系

首先我们必须区别凸集与凸函数的概念。

根据定义，可知当“凸的”在描述集合时，它要求该集合不能出现任何孔，边缘也不能有缩进。

这不同于之前的凹（凸）函数：

当“凸的”在描述函数时，它确定的是一条曲线或曲面是如何弯曲的。

但凹（凸）函数确实与凸集有关。

除了定义域都要求是凸集之外，它们都可以引致一个凸集。

定理

是凹函数是凸集；

是凸函数是凸集。

即，由函数上的点以及函数曲线（曲面）之下的点组成的集合若是凸集该函数为凹函数；

由函数上的点以及函数曲线（曲面）之上的点组成的集合若是凸集该函数为凸函数。

2拟凹（拟凸）函数

不管是凹（凸）函数还是严格凹（凸）函数，它们对函数都有比较强的设定。

但是通常，理论研究的工作之一是为保证获得结果，识别出我们需要对函数进行的最弱的可行设定。

拟凹（拟凸）函数则是一个相对而言更弱的条件。

拟凹（拟凸）函数的定义如下：

时，函数f为拟凹函数。

时，函数f为拟凸函数。

若将不等号“”和“”分别变换成严格不等号“”和“”，上述定义便适用于严格拟凹函数和严格拟凸函数的定义。

我们也可以通过更直观的方法检验函数的拟凹性和拟凸性。

设为函数在水平上的上等值集，为函数在水平上的下等值集。

对于值域内的所有y值，都是凸集是拟凹函数

对于值域内的所有y值，都是凸集是拟凸函数

经济学中常假设拟凹的效用函数。

根据定理，拟凹的效用函数保证了其上等值集为凸集。

3函数间关系

（1）是（严格）凹函数是（严格）凸函数；

（2）是（严格）拟凹函数是（严格）拟凸函数；

（3）是（严格）凹函数是（严格）拟凹函数（反之不成立）；

（4）是（严格）凸函数是（严格）拟凸函数（反之不成立）；

（5）单调函数既是拟凹函数也是拟凸函数

（6）凹（凸）函数相加仍为凹（凸）函数，拟凹和拟凸函数则没有类似关系。

（二）无约束的最优化问题

1一元函数的无约束极值

本讲义将讨论的函数范围限定在二次连续可微函数的范围里。

给定一个二次连续可微的一元函数,。

易知，它在处取得极值的一阶必要条件为：

。

而该极值究竟是极大值还是极小值得看的符号：

若，则为唯一的绝对极大值；

若，则为唯一的绝对极小值。

利用上述极值的导数条件，我们可以推导出极值的微分条件，即：

极值的一阶必要条件：

对于任意非零，函数的一阶全微分为零；

对于任意非零，我们也可以通过计算函数的二阶全微分来判断极值的情况。

综上，当函数为二次连续可微时，它取得极值的必要条件为：

（1）函数在取得绝对极大值，对于任意非零都成立；

（2）函数在取得绝对极小值，对于任意非零都成立。

在满足必要条件的前提下，函数取得唯一的绝对极值时充分条件为

，对于任意非零都成立函数在取得唯一绝对极大值；

，对于任意非零都成立函数在取得唯一绝对极小值。

只要将改为一阶微分向量，以上极值的微分条件能直接从单变量的情况推广至两个甚至多个变量的情况。

2多元函数的最优化问题

2.1一阶条件

稳态值：

上的函数的稳态值，在该点处，下面几个等式同时成立：

如果在点，我们可能得到局部最大（小）值，即对于一个尽可能小的邻域内，所有点都有，那么稳态条件必然满足。

2.2二阶条件

直觉上，多元函数与一元函数一样，在稳态值取得最大值还是最小值与的符号有关。

我们先对进行微分，可得：

其中，为海塞矩阵。

根据杨格定理：

，因此海塞矩阵为对称矩阵。

在判断的符号之前，我们先正（负）定矩阵及其判定方法。

定义

若对于所有的，始终成立，则称正定，A为正定矩阵；

若对于所有的，始终成立，则称负定，A为负定矩阵；

若对于所有的，始终成立，则称半正定，A为半正定矩阵；

若对于所有的，始终成立，则称半负定，A为半负定矩阵。

根据以上定义，若要判断的符号，我们只需判定与其对应的海塞矩阵的正（负）定。

其实，通过判定海塞矩阵的正（负）定，我们也可以判定函数的凹（凸）性，即对于二次连续可微函数，

（1）其海塞矩阵负定函数为严格凹函数存在唯一绝对极大值；

（2）其海塞矩阵正定函数为严格凸函数存在唯一绝对极小值。

接下来介绍正负定的判定方法。

主子阵：

对矩阵A，由A的k个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到的矩阵，称为A的k阶主子阵；

由A的前k个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到的矩阵，为k阶前主子阵。

主子阵的行列式为主子式；

前主子阵的行列式为顺序主子式。

我们用表示的k阶顺序主子式（其中），如:

，

…

对于二次连续可微函数，

（1）海塞矩阵正定；

（2）海塞矩阵负定。

用表示海塞矩阵H的指标（1,2,3，…，n）的任意排序，为的k阶顺序主子式，则

（3）海塞矩阵半正定；

（4）海塞矩阵半负定。

从而，我们给出极值的充分条件：

已知二次连续可微函数，

（1）其海塞矩阵负定严格凹函数为函数的唯一绝对极大值；

（2）其海塞矩阵正定严格凸函数为函数的唯一绝对极小值。

3举例：

二元函数的无约束极值问题

有一个二次连续可微函数，

可知其海塞矩阵为，则

，,

，

根据之前的判定规则，

（1），为严格凹函数；

（2），为严格凸函数；

（3），为凹函数；

（4），为凸函数；

若，我们就可以根据函数的凹凸性来判定函数在点取得的是绝对极大值还是绝对极小值。

（三）具有约束条件的最优化问题

之前的部分只是考虑了无约束条件的最优化问题，这即是说在求极值的过程中，我们没有对选择变量的值进行约束，从而求得的解可能是负值，也可能很大。

然而考虑到经济学是建立在稀缺的资源如何配置的问题上的，因而在经济学的最优化求解过程中，我们通常不得不面临资源的稀缺性——即对选择变量的值加上约束条件。

约束条件大致分三类：

等式约束、非负约束以及更普遍的，其它形式的不等式约束。

我们将依次介绍对应的求解方法。

从现在开始，讨论将以最大化问题为主，在解决最大化问题后会稍微提及解决最小化问题的方法。

1等式约束

关于解决等式约束的方法，其实我们已经学过了，就是利用拉格朗日方法求解的过程。

现在简要回顾拉格朗日函数。

1.1二元目标函数、一个等式约束的约束最优化条件

考虑二元函数下，具有约束条件的最优化问题

其中c是一个常数，z和g都是二次连续可微函数。

该问题的拉格朗日函数为：

一阶条件要求：

求出上述一阶条件，可得。

二阶条件：

将拉格朗日乘子也看作是变量，则最大化拉格朗日函数的过程可视为无约束最优化过程。

这也就是说，如果解满足L的无约束极值中极大值的二阶条件，我们便可确定是我们约束最优化问题的解。

事实上在二阶条件求导过程中，这里与无约束最优化关键区别在于，与的取值不再是任意非零即可，等式约束中与的取值有关。

对等式约束两边求一阶全微分，可得：

因此等式约束要求。

对函数进行二阶全微分可得：

对进行二阶全微分，化简可得：

将上式代入，可得：

而。

定义为加边海塞矩阵,它是由海塞矩阵和一阶导数（边）构成的矩阵，用表示，H上面的-表示边。

则

综上，我们可以得到目标为二元函数、仅包含一个等式约束的最优化条件：

当满足拉格朗日函数的一阶条件时，为约束极小（大）值。

1.1.1严格拟凹（拟凸）函数与约束极值的关系

当函数y是二次连续可微时，我们还可以用函数的一阶导数和二阶导数（整理成加边行列式）的方法来检验：

设

（1）z为严格拟凹函数；

（2）z为严格拟凸函数。

将B与之前的加边海塞矩阵进行比较，可以发现两个不同之处：

一为B中的加边元素是函数f而非g的一阶偏导数，二为B中的其余元素是f而非拉格朗日函数L的二阶偏导数。

然而，在线性等式约束的特定情况下（这类等式约束在经济学中经常遇到），可简化为,即。

从而，拉格朗日函数为

从而

且。

回到“边”，我们注意到线性约束函数产生一阶导数，因而一阶条件可写为。

因此B中的边只不过是的边被正的标量乘。

通过顺序提取的横边和纵边的公因子，得到

结果，在线性约束情况下，与总有相同的符号。

由此可知，在线性约束的条件下，我们可以通过直接判断目标函数的严格拟凹（凸）性去判断约束极值的情况：

（1）目标函数为严格拟凹函数函数在稳态值取得唯一的约束绝对极大值；

（2）目标函数为严格拟凸函数函数在稳态值取得唯一的约束绝对极小值。

1.1.2拟凹（凸）函数与凹（凸）函数的关系

平滑、递增、拟凹的效用函数上等值集为凸集凸的向下倾斜的无差异曲线。

因为等产量曲线的概念几乎与无差异曲线是一致的，我们可以类推：

平滑、递增、拟凹的生产函数上等值集为凸集凸的向下倾斜的等产量曲线。

1.2多元目标函数、m个等式约束的约束最优化条件

现在将拉格朗日方法应用于多元函数。

面临的最优化问题为：

拉格朗日函数为：

一阶条件：

此时加边海塞矩阵为：

定义。

利用我们直接给出多元目标函数、m个等式约束的约束最优化条件：

为满足一阶必要条件的解，则

（1）函数在点取得唯一的约束绝对极大值；

（2）函数在点取得唯一的约束绝对极小值。

2非负约束

考虑一元可微函数：

由于约束条件，因此可能会出现三种情况：

（1）在x大于零时取得绝对极大值。

此时我们得到了一个内点解。

在这种情况下，一阶条件是，和经典问题一样。

（2）x等于零时取得绝对极大值。

此时我们得到了一个边界解，但仍然成立。

（3）x小于零时取得绝对极大值。

此时我们也得到了边界解，但因为作为非线性约束问题中的一个局部极大值，候选点必须必可行域中的邻近点高，从而要求。

综上，为了在内找到的极大值，必须满足以下三个条件中的一个：

（1）且；

（2）且；

（3）且；

将上述三个条件合成一个论述：

，且，

其中，第三个等式表达了三个条件的一个共同特点，即x和至少有一个是零，因此两者的乘积一定是零。

这个特点是指x与互补松弛。

当问题包含n个选择变量时：

解决的思路与一元函数相同，这里我们直接给出该约束最优化的必要条件：

（1）给定非负约束，多元函数在稳态值处取得约束极大值，则满足

（1）给定非负约束，多元函数在稳态值处取得约束极小值，则满足

3其它形式的不等式约束

现在我们在非负约束的基础上，再引入不等式约束。

为简化，我们先处理两个选择变量和一个不等式约束条件的问题: