初三上数学辅导讲义第一讲.docx

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初三上数学辅导讲义第一讲

初三上数学辅导讲义

（一）

一元二次方程的解法

一、用配方法解方程

1．

（1）x2－2x－12＝0

（2）2x2－4x－1＝0

二、用公式法解方程

2．

（1）5x2＋2x－1＝0

（2）6x2＋13x＋6＝0

三、用因式分解法解方程

3．

（1）x2－6x＋9＝4

（2）9（x－2）2＝4（x＋1）2

四、选择适当的方法解方程

4．

（1）x2－4x＋1＝0

（2）3x（x－1）＝2x－2

五、利用一元二次方程根的定义解方程

5．（2014·济宁）若一元二次方程ax2＝b（ab>0）的两根是m＋1，2m－4，则＝___．

6．（2014·内江）关于x的方程m（x＋h）2＋k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是：

x1＝－3，x2＝2，则方程m（x＋h－3）2＋k＝0的解是（　　）

A．x1＝－6，x2＝－1　　　B．x1＝0，x2＝5C．x1＝－3，x2＝5D．x1＝－6，x2＝2

六、利用一元二次方程根的判别式解方程

7．关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x＋2m－1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．

一元二次方程的根与系数的关系

知识点：

如果方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝____，x1x2＝____．

一、直接求两根之和与两根之积

1．一元二次方程x2＋3x＝1的两根之和与两根之积分别是（　　）

A．3，1　　B．－3，－1　　C．3，－1　　D．－3，1

二、求相关对称式的值

2．设x1x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．

（1）x12＋x22　

（2）＋　（3）x12＋x22－3x1x2

三、已知方程的一根求另一根与待定系数

3．已知x＝3是关于x的方程x2＋2x＋m＝0的一根，则另一根是____，m＝____．

4．已知2＋是关于x的方程x2＋mx＋1＝0的一个根，求方程的另一个根，及m的值．

四、与判别式结合求待定系数的值

5．已知关于x的方程x2－2（k－1）x＋k2＝0有两个实数根x1和x2.

（1）求k的取值范围；

（2）若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．

6．已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实根x1，x2.

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立？

若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

练习

1．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：

（1）4x2＋1＝7x，x1＋x2＝____，x1·x2＝____；

（2）3x2－1＝0，x1＋x2＝____，x1·x2＝____；

（3）x2－6x＝0，x1＋x2＝____，x1·x2＝____；

（4）2x2－（m＋1）x－m＝0，x1＋x2＝____，x1·x2＝____．

2．已知x1，x2是一元二次方程2x2－5x－1＝0的两根，则x1－1＋x2－1＝____．

3．方程x2－2x－3＝0，两根分别为3，－1，记为[3，－1]，请写出一个根为[－2，3]的一元二次方程．

4．（2014·常州）已知关于x的方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，则m＝___，另一个根为____．

5．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，求m，n的值．

6．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若（m－1）（n－1）＝－6，求a的值．

7．对于任意的非零实数m，关于x的方程x2－4x－m2＝0的根的情况是（　C　）

A．有两个正实数根B．有两个负实数根C．有一个正实数根，一个负实数根D．没有实数根

8．（2014·烟台）关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是（　D　）

A．－1或5B．1C．5D．－1

9．（2014·莱芜）若关于x的方程x2＋（k－2）x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝__－1__．

10．（2014·扬州）已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为__23__．

11．关于x的方程2x2－（a2－4）x－a＋1＝0.

（1）a为何值时，方程的一根为0?

（2）a为何值时，两根互为相反数？

12．（教材变形题）学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：

“若设一元二次方程的两个根为x1，x2，就能快速求出＋，x12＋x22，…的值了．比如设x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－3，得＋＝＝.”

（1）小亮的说法对吗？

简要说明理由；

（2）写一个你最喜欢的一元二次方程，并求出两根的平方和．

13．（2014·鄂州）已知一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0.

（1）若方程有两个不等实数根，求m的取值范围；

（2）若方程的两实数根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m的值．

初三上数学辅导讲义

（二）

应用一元二次方程

一、利用一元二次方程解决几何问题

列一元二次方程解应用题的步骤可归结为__审__、__设__、__列__、__解__、__验__、__答__．

1．从一块正方形的木板上锯掉一块2cm宽的长方形木条，剩下部分的面积是48cm2，那么原正方形木板的面积是（　　）

A．8cm2　　B．8cm2或64cm2C．64cm2D．36cm2

2．如图，AB⊥BC，AB＝10cm，BC＝8cm，一只蝉从C沿CB的方向以每秒1cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24cm2，由题意可列方程（　　）

A．2x·x＝24B．（10－2x）（8－x）＝24C．（10－x）（8－2x）＝24D．（10－2x）（8－x）＝48

第2题图）　　,第3题图）

3．小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（如图）．如果这个无盖的长方体底面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为（　　）

A．2cmB．1cmC．0.5cmD．0.5cm或9.5cm

4．（2014·宿迁）一块矩形菜地的面积是120cm2，如果它的长减少2cm，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是____cm.

5．已知小明与小亮两人在同一地点，若小明向北直走160m，再向东直走80m，可到购物中心，则小亮向西直走___m后，他与购物中心的距离为340m.

6．（2014·牡丹江）现有一块长80cm，宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得____．

7．（教材习题改编）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则点P，Q分别从点A，B同时出发，经过____秒钟，使△PBQ的面积等于8cm2.

8．如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（x2＋17）cm，正六边形的边长为（x2＋2x）cm（其中x>0）．求这两段铁丝的总长．

9．为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？

（注：

所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）

10．如图，两艘船同时从A点出发，一艘船以15海里/时的速度向东北方向航行，另一艘船以20海里/时的速度向东南方向航行，几小时后两船正好相距100海里？

11．如图，要建造一个四边形花圃ABCD，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AD∥BC，AB∶CD＝5∶4，且三边的总长为20m．设AB的长为5xm.

（1）请求AD的长；（用含字母x的式子表示）

（2）若该花圃的面积为50m2，且周长不大于30m，求AB的长．

12．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．

【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？

（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：

解：

设点B将向外移动x米，即BB1＝x，

则A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B12，

得方程___，解方程，得x1＝____，x2＝____，∴点B将向外移动___米．

（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：

【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？

为什么？

【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？

为什么？

请你解答小聪提出的这两个问题．

二、利用一元二次方程解决营销问题

1．商品利润＝__售价__－__进价__．利润率＝____×100%.

2．平均增长率公式为b＝__a（1＋x）n__，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数．平均降低率公式为b＝__a（1－x）n__，其中a为起始量，b为终止量，x为平均降低率，n为降低次数．

知识点一：

利润问题

1．（2014·泰安）某种花卉每盆盈利与每盆株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆盈利达到15元，每盆应多植多少株？

设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　）

A．（3＋x）（4－0.5x）＝15B．（x＋3）（4＋0.5x）＝15C．（x＋4）（3－0.5x）＝15D．（x＋1）（4－0.5x）＝15

2．某种T恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天盈利1400元，每件应降价____元．

3．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件，如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，请问她购买了多少件这种服装？

知识点二：

增降率问题

4．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　）

A．438（1＋x）2＝389B．389（1＋x）2＝438C．389（1＋2x）＝438D．438（1＋2x）＝389

5．（2014·海南）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（　　）

A．100（1＋x）2＝81　　B．100（1－x）2＝81C．100（1－x%）2＝81D．100x2＝81

6．（2014·随州）某小区20XX年屋顶绿化面积为2000平方米，计划20XX年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是____．

7．（2014·宜宾）某企业五月份