新课标全国卷1文科数学分类汇编3导数及其应用文档格式.docx
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(Ⅱ)若存在x0≥1,使得,求的取值范围.
【2013,20】已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
【2012,21】21.设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若,为整数,且当时,,求的最大值.
【2011,21】已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求,的值;
(2)证明:
当,且时,.
3.导数及其应用(解析版)
解析:
选C.问题转化为对恒成立,
故,即恒成立.
令,得对恒成立.
解法一:
构造,开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值,
故只需保证,解得.故选C.
解法二:
当时,不等式恒成立;
当时,恒成立,由在上单调递增,所以,故;
当时,恒成立.由在上单调递增,,所以.
综上可得,.故选C.
【2014,12】已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是()
解:
依题a≠0,f'
(x)=3ax2-6x,令f'
(x)=0,解得x=0或x=,
当a>
0时,在(-∞,0)与(,+∞)上,f'
(x)>
0,f(x)是增函数.在(0,)上,f'
(x)<
0,f(x)是减函数.且f(0)=1>
0,f(x)有小于零的零点,不符合题意.
当a<
0时,在(-∞,)与(0,+∞)上,f'
0,f(x)是减函数.在(,0)上,f'
0,f(x)是增函数.要使f(x)有唯一的零点x0,且x0>
0,只要,即a2>
4,所以a<
-2.故选C
另解:
依题a≠0,f(x)存在唯一的正零点,等价于有唯一的正零根,令,则问题又等价于a=-t3+3t有唯一的正零根,即y=a与y=-t3+3t有唯一的交点且交点在在y轴右侧,记g(t)=-t3+3t,g'
(t)=-3t2+3,由g'
(t)=0,解得t=±
1,在(-∞,-1)与(1,+∞)上,g'
(t)<
0,g(t)是减函数.在(-1,1)上,g'
(t)>
0,g(t)是增函数.要使a=-t3+3t有唯一的正零根,只要a<
g(-1)=-2,故选C
【解】.求导得,故切线的斜率,所以切线方程为,即.
【解析】.由已知,根据导数的几何意义知切线斜率,
因此切线方程为,即.
【解析】
(1)
①当时,,令,即,解得,
令,即,解得,
所以当,在上递增,在上递减.
②当时,,在上递增.
③当时,,令,
令,
所以当时,在上递增,在上递减.
综上所述:
当,在上递减,在上递增;
当时,在上递增;
当时,在上递减,在上递增.
(2)由
(1)得当时,,
,得.当时,满足条件.
当时,
,
,又因为,所以.
综上所述,的取值范围是.
解析:
(1)由题意.
当,即时,恒成立.令,则,
所以的单调增区间为.同理可得的单调减区间为.
当,即时,令,则或.
(ⅰ)当,即时,令,则或,
所以的单调增区间为和.同理的单调减区间为;
(ⅱ)当,即时,
当时,,,所以.同理时,.
故的单调增区间为;
(ⅲ)当,即时.令,则或,
所以的单调增区间为和,同理的单调减区间为.
综上所述,当时,的单调增区间为和,单调减区间为;
当时,的单调增区间为;
当时,的单调增区间为和,单调减区间为;
当时,的单调增区间为,单调减区间为.
(2)解法一(直接讨论法):
易见,如
(1)中讨论,下面先研究(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)三种情况.
①当时,由单调性可知,,故不满足题意;
②当时,在上单调递增,显然不满足题意;
③当时,由的单调性,可知,
且,故不满足题意;
下面研究,
当时,,令,则,因此只有个零点,故舍去;
当时,,,所以在上有个零点;
(i)当时,由,而,
所以在上有个零点;
(ii)当时,由,而,
可见当时有两个零点.所以所求的取值范围为.
解法二(分离参数法):
显然不是的零点,
当时,由,得.
设,则问题转化为直线与图像有两个交点,
对求导得,
所以在单调递增,在单调递减.
当时,若,,直线与图像没有交点,
若,单调递减,直线与图像不可能有两个交点,
故不满足条件;
若时,取,则,
而,结合在单调递减,
可知在区间上直线与图像有一个交点,
取,,
则,,
结合在单调递增,可知在区间上直线与图像有一个交点,
综上所述,时直线与图像有两个交点,函数有两个零点.
(Ⅰ)f'
(x)=2e2x,x>
0…2分
(1)若a≤0时,f'
0在(0,+∞)恒成立,所以f'
(x)没有零点;
…3分
(2)若a>
0时,f'
(x)单调递增.当x0,f'
(x)-∞;
当x+∞,f'
(x)+∞,
所以f'
(x)存在一个零点.…6分
(Ⅱ)设f'
(x)的唯一零点为k,由(Ⅰ)知(0,k)上,f'
0,f(x)单调递减;
在(k,+∞)上,f'
0,f(x)单调递增.所以f(x)取最小值f(k).…8分
所以f(x)≥f(k)=e2k-alnk,又f'
(k)=2e2k=0,所以e2k=,,
所以f(k)=,
所以f(x)≥.…12分
21.解析
(1),.
显然当时,恒成立,无零点.
当时,取,则,即单调递增.
令,即.
画出与的图像,如图所示.
由图可知,必有零点,所以导函数存在唯一零点.
(2)由
(1)可知有唯一零点,设零点为,
由图可知,当时,,即单调递减;
当时,,即单调递增.
所以在处取得极小值,即.
又,解得.①
①两边分别取自然对数,得,即.
所以
(当且仅当,即时取等号).
(Ⅰ)(x>
0),依题f'
(1)=0,解得b=1,…3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
因为a≠1,所以f'
(x)=0有两根:
x=1或。
…4分
(1)若,则,在(1,+∞)上,f'
0,f(x)单调递增.
所以存在x0≥1,使得,的充要条件为,即,
解得。
…6分
(2)若,则,在(1,)上,f'
(x)<
0,f(x)单调递减,
在()时,f'
所以存在x0≥1,使得,的充要条件为,
而,所以不合题意.…9分
(3)若a>
1,则。
存在x0≥1,符合条件。
…11分
综上,a的取值范围为:
。
…12分
(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4,由已知得f(0)=4,f′(0)=4,故b=4,a+b=8.
从而a=4,b=4.
(2)由
(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)·
.
令f′(x)=0得,x=-ln2或x=-2.
从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0;
当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0.
故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.
当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).
(1)函数的定义域为(-∞,+∞),且.
当时,,在(-∞,+∞)上是增函数;
当时,令,得.
令,得,所以在上是增函数,
令,得,所以在上是减函数,
(2)若,则,.
所以,
故当时,等价于
,
即当时,().①
令,则.
由
(1)知,函数在单调递增,而,,所以在存在唯一的零点.
故在存在唯一的零点.设此零点为,则.
当时,;
所以在的最小值为.
又由,可得,所以,
由于①式等价于,故整数的最大值为2.
(1),由于直线的斜率为,
且过点,故,即,解得,.
(2)由
(1)知,所以.
考虑函数,则.
所以当时,.而,故当时,,可得;
当时,,可得.
从而当,且时,,即.