人教A版数学必修4第一章三角函数教材分析资料文档格式.docx

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4．借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）；

5．理解同角三角函数的基本关系式：

sin2x+cos2x=1，；

6．结合具体实例，了解的实际意义；

能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；

7．会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

二、内容安排

本章共安排了6个小节以及两个选学内容，教学时间约需16课时，大体分配如下（仅供参考）：

1。

1任意角和弧度制…………………………………………………约2课时

2任意角的三角函数………………………………………………约3课时

3三角函数的诱导公式……………………………………………约2课时

4三角函数的图象与性质…………………………………………约4课时

5函数y=Asin（φ）的图象………………………………约2课时

6三角函数模型的简单应用……………………………………约2课时

小结……………………………………………………………………约1课时

本章知识结构如下：

1．本章学习的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在数学1中建立的函数概念，以及指数函数、对数函数的研究经验；

主要的学习内容是三角函数的概念，图象与性质，以及三角函数模型的简单应用；

单位圆是研究三角函数的重要工具，借助它的直观，可以使学生更好地理解三角函数的概念和性质，因此三角函数的学习可以帮助学生更好地体会数形结合思想；

三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科（特别是物理、地理）有紧密联系，因此本章的学习可以培养学生的数学应用能力。

2．为了加强三角函数学习的目的性，本章采用月相变化图和简谐运动图的组合作为章头图，并以“大到宇宙天体运行，小到质点的运动，现实世界中具有周期性变化的现象无处不在”为开篇语，再在章前引言中明确提出“三角函数是刻画周期性变化规律的数学模型”。

这样的安排使得三角函数的作用体现得更加清楚，也能使学生更加明确学习三角函数的意义。

3．任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点。

过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解。

本章利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数。

这样定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系。

另外，如果α是弧度数，即∠xOP=αrad，那么正弦、余弦函数就是关于任意实数α的函数，这时的自变量和函数值都是实数，这就与数学1中给出的一般函数概念完全一致了。

事实上，在弧度制（这是一种用半径来度量角的方法）下，角度和长度的单位是统一的，正是这种单位的统一，使得我们可以这样来描述这两个函数的对应关系：

把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）t被缠绕到单位圆上的点P（cost，sint）。

基于上述理由，我们认为这样的定义可以更好地反映三角函数的本质，也正是三角函数的这种形式决定了它们在数学（特别是应用数学）中的重要性。

事实上，后续的内容，特别是在微积分中，最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函数。

另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了。

例如从定义可以方便地推导同角三角函数的关系式、诱导公式、和（差）角公式，而且为公式的记忆提供了图形支持；

单位圆为讨论三角函数的性质提供了很好的直观载体，我们可以借助单位圆，直接从定义出发讨论三角函数的性质……

当然，这个定义与人们熟悉的用角的终边上点的坐标的“比值”来定义是等价的，这正是教科书在1。

2。

1中安排例2的原因。

4．三角函数的诱导公式过去是从求三角函数值引入的，把，，，的三角函数与α的三角函数关系作为诱导公式，并且把关于的诱导公式作为和（差）角公式的推论给出。

本教科书改变了这种做法。

教科书借助单位圆，先引导学生讨论了这些角的终边与角α的终边之间的对称关系，然后根据三角函数定义导出所有诱导公式。

这样，既能很好地反映诱导公式的本质（圆的对称性的代数表示），又使它们成了一个有机的整体。

另外，去掉了关于的诱导公式（因为它与－α的诱导公式等价），增加了的诱导公式。

为了使学生尽快熟悉并形成使用弧度制的习惯，在诱导公式中全部采用了弧度制。

5．正弦、余弦函数按照从函数的定义到作函数图象再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开，三角恒等变换不再穿插其中，这一顺序与研究其他函数的顺序一致，使得三角函数的研究更加简洁．另外，把周期性作为第一条性质，目的是为了体现它的重要性。

正切函数先利用诱导公式、单位圆讨论性质，然后再利用性质作图象，这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数性质。

6．对函数图象的研究，由于涉及的参数有3个，因此本章采取先讨论某个参数对图象的影响（其余参数相对固定），再整合成完整的问题解决的方法安排内容，具体线索如下：

（1）探索φ对y＝sin（x+φ）的图象的影响；

（2）探索ω对y＝sin（ωx+φ）的图象的影响；

（3）探索A对y＝Asin（ωx+φ）的图象的影响；

（4）上述三个过程的合成。

在对上述四个问题的具体讨论中，先让学生对参数赋值，形成对图象变化的具体认识，然后再推广到一般情形。

这样安排既分散了难点，又使学生形成清晰的讨论线索，从中能使学生学习到如何将复杂问题分解为简单问题并“各个击破”，然后整合为整个问题的解决的思想方法，培养有条理地思考的习惯，有利于培养学生的逻辑思维能力。

7．“三角函数模型的简单应用”是一个新增内容，主要以举例的方式说明三角函数模型的应用方法。

选择的问题包括：

（1）用已知的三角函数模型解决问题；

（2）将复杂的函数模型转化为等基本初等函数解决问题；

（3）根据问题情景建立精确的三角函数模型解决问题；

（4）通过数学建模，利用数据建立拟合函数解决实际问题。

安排本节内容的目的是要让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，以使学生体会三角函数的价值和作用，增强应用意识，同时还要使学生加深理解有关知识。

在安排内容时，特别注意了数学应用过程的完整性，加强了对问题情景和解题思路的分析，以及解题后的反思这两个环节。

这样做可以保持数学应用中的数学思维水平，提高学生对相应的思想方法的认知层次，培养学生良好的解题习惯。

三、新旧教材变化

1．以基本概念为主干内容贯穿本书，削枝强干，教材体系更显合理。

“标准”设定的三角函数与三角恒等变换学习目标是：

（1）通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用；

（2）运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。

根据上述学习目标，在编写教科书过程中，特别注意突出主干内容，强调模型思想、数形结合思想。

“三角函数”一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。

即通过现实世界的周期现象，在学生感受引入三角函数必要性的基础上，引出三角函数概念，研究三角函数的基本性质，并用三角函数的基础知识解决一些实际问题。

与传统的处理方法不同，这里把三角恒等变换从三角函数中独立出来，其目的也是为了在三角函数一章中突出“函数作为描述客观世界变化规律的数学模型”这条主线。

为了实现削枝强干的目标，教科书除了将三角恒等变换独立成章外，还在具体内容上进行了处理。

①在新教材中，学生学了1。

1任意角、弧度和1。

2任意角的三角函数之后，接着就安排了“1。

3三角函数的图象和性质”的内容，而将运用三角公式进行三角恒等变换的内容滞后安排。

这与原教材相比，两部分内容恰好颠倒了顺序。

由于三角公式要用到三角函数的周期性、奇偶性等性质导出，所以这样安排具有它的合理性。

同时也相应地突出了三角函数的图象与性质广泛应用的地位。

②原教材中专门安排一节“已知三角函数值求角”，在新教材中删去了。

但是在新教材的“1。

3三角函数图象和性质”中插入了已知三角函数值求角的题目，如：

P32例2：

“求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合：

（1）P33练习第4题，P35练习第1题，P46习题1。

3第4题，P49复习题第10题等。

由于已知三角函数值求角的内容在新教材中，已经不独立成节，所以在学生学习、解答这一内容的有关问题时，希望大家注意帮助小结其中的规律与方法。

③在新教材的“第三章三角恒等变换”中，新增加了一节“3。

3几个三角恒等式”，将和差化积，积化和差，万能代换，半角等几组公式均安排在该节中。

原教材是将这些公式零星分散在例选、练习题、习题与复习题中。

这一系列公式既然系统地安排在一节内容当中，那么今后学生在解题时就可以直接应用。

也可以让学有余力的学生记熟，但不得强行一刀切地向学生提出统一熟记的要求。

任意角、弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，周期函数与最小正周期，三角函数的奇偶性等内容都降低了要求。

三角恒等变换中，两角和与差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原来的掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出。

积化和差、和差化积、半角公式都作为三角恒等变换基本训练的例题，不要求用积化和差、和差化积、半角公式作复杂的恒等变形。

根据上述考虑，本模块先安排三角函数，再安排平面向量，然后再把三角恒等变换作为平面向量的一个应用，安排在第3章，紧接着再安排解三角形的内容（放在数学5的第1章）。

这样的教材体系的合理性在于：

（1）以已有的集合与函数、指数函数与对数函数的知识为基础，三角函数置于其上位概念（即函数）之下，使三角函数的学习有一个好的“先行组织者”，找到一个有力的“固着点”。

三角函数的学习是一种“逐渐分化”式的学习。

（2）三角函数的学习为平面向量的学习作了必要的准备，因为平面向量的某些内容（向量的数量积）需要用到钝角的三角函数。

（3）将三角恒等变换安排在平面向量之后，使学生能够切实感受到平面向量的威力（用向量为工具推导三角变换公式非常简捷，而用其他方法都比较繁琐）。

另外，由于三角恒等变换与“函数”讨论的主题关系较远，作为平面向量的一个应用而独立成章，对三角函数的系统性没有破坏。

（4）将解三角形的内容安排在平面向量之后，可以使正弦定理