六年级数学正比例和反比例的意义性质+练习+总结.doc
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正比例和反比例的意义
一、成正比例的量
1．在现实生活中，我们常常遇到两种相关联的量的变化情况，其中一种量变化，另一种量也随着变化，
例如：
（1）班级人数多了，课桌椅的数量也变多了；人数少了，课桌椅也少了。
（2）送来的牛奶包数多，牛奶的总质量也多；包数少，总质量也少。
（3）上学时，去的速度快了，时间用少了；速度慢了，时间用多了。
（4）排队时，每行人数少了，行数就多了；每行人数多了。
行数就少了。
生活中还有哪些成正比例的量？
如：
A.长方形的宽一定，面积和长成正比例。
B.每袋牛奶质量一定，牛奶袋数和总质量成正比例。
C.衣服的单价一不定期，购买衣服的数量和应付钱数成正比例。
D.地砖的面积一定，教室地板面积和地砖块数成正比例。
2.例：
1出示:
一列火车1小时行驶90千米，2小时行驶180千米，
3小时行驶270千米，4小时行驶360千米，
5小时行驶450千米，6小时行驶540千米，
7小时行驶630千米，8小时行驶720千米……
填表
一列火车行驶的时间和路程
时间
路程
时间变化,路程也随着变化，我们就说时间和路程是两个相关联的量。
根据计算，你发现了什么?
相对应的两个数的比的比值一样或固定不变,在数学上叫做一定。
用式子表示他们的关系是:
路程/时间=速度（一定）
（2）小结：
同学们通过填表，交流,知道时间和路程是.两种相关联的量,路程随着时间的变化而变化.时间扩大,路程随着扩大;时间缩小，路程也随着缩小。
即：
路程/时间=速度（一定）
2、例2：
（1）花布的米数和总价表
数量
1
2
3
4
5
6
7
……
总价
8.2
16.4
24.6
32.8
41.0
49.2
57.4
……
（2）观察图表,发现规律
用式子表示它们的关系：
总价/米数=单价（一定）
3、正比例的意义
（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两个量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
（2）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系怎样用字母表示出来？
x/y=k（一定）
PS:
三个要素：
第一、两种相关联的量；
第二、其中一个量增加，另一个量也增加；一个量减少，另一个量也减少。
第三、两个量的比值一定。
相对应的点一定在这条直线上。
（作图）
练习
一、观下图表，回答问题：
时间（时）
1
2
3
4
5
6
7
米数
22
44
66
88
11
132
154
（）和（）是两种相关联的量，（）随着（）的变化而变化的，（）一定，
时间和米数是（）的量。
作图：
二、判断下面各题中的两种量是不是成正比例关系，并说理。
1、白糖单价一定，白糖数量和总价；
2、稻谷的出米率一定，碾成大米重量和稻谷重量；
3、一个人的身长和体重；
4、长方形的长一定，宽和面积；
5、长方形的面积一定，长和宽。
三、练习：
1、请举出成正比例关系的量。
⑴、圆周长与圆半径；
⑵、圆面积与圆半径；
⑶、正方形的周长与边长。
2、说一说成正比例关系的量的变化特征。
正比例和反比例的意义
二、成反比例的量
成反比例的量：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
用字母表示。
如果用字母X和Y表示两种相关联的量，用K表示它们的乘积（一定），
反比例关系的式子可以表示为X•Y=K（一定）
2．生活中还有哪些成反比例的量？
举例
（1）大米的质量一定，每袋质量和袋数成反比例。
（2）教室地板面积一定，每块地砖的面积和块数成反比例。
（3）长方形的面积一定，长和宽成反比例。
反比例关系也可以用图像来表示。
表示两个量的点不在同一条直线上，点所连接起来是一条曲线。
图像特征不要求掌握。
4．小结。
说一说成反比例关系的量的变化特征。
例1、（反比例的意义）下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。
这两种量有什么关系？
每小时加工零件的个数/个
20
30
40
60
80
…
加工的时间/时
12
8
6
4
3
…
作图：
分析与解：
（1）从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。
（2）从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小；从右往左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。
所以它们是两种相关联的量。
（3）每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变，如20×12=240，30×8=240，40×6=240……而这个积就是这批零件的总个数。
通过观察和计算，我们发现：
每小时加工零件的个数和加工的时间是两种相关联的量，每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而变化，但无论它们怎么变化，相对应的积是一定的，有这样的关系：
每小时加工零件的个数×加工的时间=零件的总个数（一定）。
所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。
点评：
判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：
一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的乘积是否一定，进行判断。
不要省去任何一步。
如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：
ｘｙ=K（一定）。
例2、（判断是否成反比例）总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？
为什么？
分析与解：
根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积一定，那么这两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。
每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系：
每公顷的产量×公顷数=总产量（一定）
所以每公顷的产量和公顷数成反比例。
例3、（辨析）和一定，一个加数和另一个加数成反比例。
分析与解：
判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。
很明显，和一定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。
和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。
因为它们的积不一定。
点评：
有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一定，也不是比值一定，它们就不成比例。
像这样的还有：
人的跳高高度和身高；减数一定，被减数和差等。
例4、（综合题1）
（1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？
为什么？
（2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？
为什么？
分析与解：
判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。
（1）因为长方形的长×宽=长方形的面积（一定），所以长和宽成反比例。
（2）长方形的周长=（长+宽）×2，长方形的周长一定，长+宽的和一定，但不是积一定，所以长和宽不成反比例。
例5、（综合题2）分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。
（1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数；
（2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数；
（3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。
分析与解：
在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，当某一种量一定时，另外两种量可能成正比例关系，也可能成反比例关系。
可以根据数量关系式来判断。
（1）因为每天吃的千克数×天数=大米的总千克数（一定），所以大米的总千克数一定时，每天吃的千克数和天数成反比例。
（2）因为=每天吃的千克数（一定），所以每天吃的千克数一定时，大米的总千克数和天数成正比例。
（3）因为=天数（一定），所以天数一定时，大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。
练习：
1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？
有什么关系？
为什么？
表格1
数量/本
1
3
6
8
10
20
……
总价/元
4
12
24
32
40
80
……
表格2
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
总价/元
6
8
12
16
20
24
……
表格3用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
数量/本
40
30
20
15
12
10
……
2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。
如果要装订500本，每本有X页。
题中（）量一定，关系式：
（）○（）＝（）（一定），（）和（）成（）比例。
3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。
如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要Y块。
题中（）量一定，关系式：
（）○（）＝（）（一定），（）和（）成（）比例。
4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时，（）与（）成（）比例；
当高一定时，（）与（）成（）比例；
当侧面积一定时，（）与（）成（）比例。
5、在被除数、除数、商这三种量中，
当（）一定时，（）与（）成正比例；
当（）一定时，（）与（）成反比例；
6、当a×b＝c（a、b、c为三种量，且均不为0）。
（）一定，（）与（）成（）比例；
（）一定，（）与（）成（）比例；
（）一定，（）与（）成（）比例；
7、判断。
（1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。
（）
（2）、图上距离和实际距离成正比例。
（）
（3）、X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X－7Y＝0，X和Y不成比例。
（）
（4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。
（）
（5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。
（）
（6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。
（）
（7）订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。
（）
（8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。
（）
（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。
（）
（10）正方体的棱长和体积成正比例。
（）
（11）被除数一定，除数和商成反比例。
（）
（12）圆的周长和它的直径成正比例。
（）
8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。
（1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（）。
（2）、正方形的边长和周长（）。
（3）、水池的容
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