高考理科数学全国卷3含答案与解析文档格式.docx
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B
C
D
4.若,则（ ）
5.的展开式中的系数为（ ）
6.直线分别与轴,交于,两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（ ）
A.B.C.D
7.函数的图象大致为（ ）
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为,各成员的支付方式相互独立.设为该群体的位成员中使用移动支付的人数,,,则（ ）
9.的内角,,的对边分别为,,.若的面积为,则（ ）
10.设,,,是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为（ ）
11.设,是双曲线：
的左、右焦点,是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为（ ）
12.设,,则（ ）
A.B.
C.D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量,,.若,则 .
14.曲线在点处的切线的斜率为,则 .
15函数在的零点个数为 .
16.已知点和抛物线：
过的焦点且斜率为的直线与交于,两点.若,则 .
三、解答题：
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.）
（一）必考题：
共60分.
17.（12分）
等比数列中,,.
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和.若,求.
18.（12分）
某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：
min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由；
（2）求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据
（2）中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：
19.（12分）
如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直,是上异于,的点.
（1）证明：
平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时,求面与面所成二面角的正弦值.
20.（12分）
已知斜率为的直线与椭圆：
交于,两点,线段的中点为.
；
（2）设为的右焦点,为上一点,且.证明：
,成等差数列,并求该数列的公差.
21.（12分）
已知函数.
（1）若,证明：
当时,；
（2）若是的极大值点,求.
（二）选考题：
共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.［选修4—4：
坐标系与参数方程］（10分）
在平面直角坐标系中,的参数方程为（为参数）,过点且倾斜角为的直线与交于,两点.
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程.
23.［选修4—5：
不等式选讲］（10分）
设函数.
（1）画出的图象；
（2）当,,求的最小值.
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】C
【解析】∵,,∴,故选C.
2.【答案】D
【解析】,故选D.
3.【答案】A
【解析】两个木构件咬合成长方体时,小长方体（榫头）完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯视图可以为A.故选A.
4.【答案】B
【解析】由,得.故选B.
5.【答案】C
【解析】的展开式的通项,令,得,所以的系数为.故选C.
6.【答案】A
【解析】由圆可得圆心坐标,半径,的面积记为,点到直线的距离记为,则有.易知,,,所以,故选A.
7.【答案】D
【解析】∵,∴,令,解得或,此时,递增；
令,解得或,此时,递减.由此可得的大致图象.故选D.
8.【答案】B
【解析】由题知,则,解得或.又∵,即,∴,故选B.
9.【答案】C
【解析】根据余弦定理得,因为,所以,又,所以,因为，所以.故选C.
10.【答案】B
【解析】设的边长为,则,解得（负值舍去）.的外接圆半径满足,得,球心到平面的距离为.所以点到平面的最大距离为,所以三棱锥体积的最大值为,故选B.
11.【答案】C
【解析】点到渐近线的距离,而,所以在中,由勾股定理可得,所以.在中,,在中,,所以,则有,解得（负值舍去）,即.故选C.
12.【答案】B
【解析】解法一：
∵,,∴,排除C.
∵,,即,,∴,排除D.
∵,∴,∴,排除A.故选B.
解法二：
易知,,∴,,
∵,
即,∴,
∴.故选B.
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】
【解析】由已知得.又,,所以,解得.
14.【答案】
【解析】设,则,所以曲线在点处的切线的斜率,解得.
15.【答案】
【解析】令,得,解得.当时,；
当时,,又,所以满足要求的零点有3个.
16.【答案】
由题意可知的焦点坐标为,所以过焦点,斜率为的直线方程为,设,,将直线方程与抛物线方程联立得整理得,从而得,.∵,,∴,即,即,解得.
设，,则②-①得,从而.设的中点为，连接.∵直线过抛物线的焦点，∴以线段为直径的与准线相切.∵,,∴点在准线上,同时在上,∴准线是的切线,切点,且,即与轴平行,∴点的纵坐标为,即,故.
故答案为：
.
三、解答题
17.【答案】
（1）解：
设的公比为,由题设得.
由已知得,解得（舍去）或或.
故或.
（2）若,则.
由得.此方程没有正整数解.
若,则.由得,解得.
综上,.
【解析】
由得。
此方程没有正整数解.
18.【答案】
（1）第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
（i）由茎叶图可知：
用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（ii）由茎叶图可知：
用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（iii）由茎叶图可知：
用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于分钟；
用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于分钟。
因此第二种生产方式的效率更高.
（iv）由茎叶图可知：
用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎上的最多,关于茎大致呈对称分布；
用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎上的最多,关于茎大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少。
以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
（2）由茎叶图知.
列联表如下：
15
5
（3）由于,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19.【答案】
（1）由题设知,平面平面,交线为.因为,平面,所以平面,故.
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