高三数学《平面向量》教学设计Word格式.docx

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相等向量

长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

（1）交换律：

a＋b＝b＋a.

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则

a－b＝a＋（－b）

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

（1）|λa|＝|λ||a|；

（2）当λ>

0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ<

0时，λa的方向与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0

λ（μa）＝（λμ）a；

（λ＋μ）a＝λa＋μa；

λ（a＋b）＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．（　×

　）

（2）|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．（　√　）

（3）已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.（　×

（4）△ABC中，D是BC中点，则＝（＋）．（　√　）

（5）向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．（　×

（6）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．（　√　）

1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；

②若a与a0平行，则a＝|a|a0；

③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　D

解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；

若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：

一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

2．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于（　　）

A．2－B．－＋2

C.－D．－＋

答案　A

解析　由2＋＝0得2－2＋－＝0，

故＝2－.

3．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．

答案　－2

解析　如图所示，由＝λ，且＋＋＝0，则P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.

4．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝____________.（用a，b表示）

答案　－a＋b

解析　由＝3得＝＝（a＋b），

＝a＋b，所以＝－

＝（a＋b）－＝－a＋b.

题型一　平面向量的概念

例1　给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中正确命题的序号是________．

答案　②③

解析　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．

②正确．∵＝，∴||＝||且∥，

又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；

反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝.故“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．

③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；

又b＝c，

∴b，c的长度相等且方向相同，

∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．

综上所述，正确命题的序号是②③.

思维升华　

（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．

（4）非零向量a与的关系：

是a方向上的单位向量．

　下列命题中，正确的是________．（填序号）

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；

④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；

⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

答案　⑤

解析　①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；

②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；

④不正确，如果b＝0，则a与c不一定平行；

⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；

向量的模均为实数，可以比较大小．

题型二　平面向量的线性运算

例2　

（1）如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于（　　）

A.－B.＋

C.＋D.－

（2）在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于（　　）

A.b＋cB.c－b

C.b－cD.b＋c

答案　

（1）D　

（2）A

解析　

（1）在△CEF中，有＝＋.

因为点E为DC的中点，所以＝.

因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.

所以＝＋＝＋

＝－，故选D.

（2）∵＝2，

∴－＝＝2＝2（－），

∴3＝2＋，

∴＝＋＝b＋c.

思维升华　

（1）解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．

（2）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果．

（1）如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于（　　）

A．0B.

C.D.

（2）（2013·

江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2（λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2的值为________．

答案　

（1）D　

（2）

解析　

（1）如图，∵在正六边形ABCDEF中，

＝，＝，

∴＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝.

（2）由题意，得＝＋＝＋＝＋（－）＝－＋，则λ1＝－，λ2＝，

即λ1＋λ2＝.

题型三　共线定理的应用

例3　设两个非零向量a与b不共线，

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），求证：

A、B、D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

（1）证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），

∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）

＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5.

∴、共线，又∵它们有公共点B，

∴A、B、D三点共线．

（2）解　∵ka＋b和a＋kb共线，

∴存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），

即ka＋b＝λa＋λkb.∴（k－λ）a＝（λk－1）b.

∵a、b是两个不共线的非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±

1.

思维升华　

（1）证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

（2）向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a、b不共线．

　如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则等于（　　）

A.－B.＋

C.＋D.－

（2）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－4＋3＝0，则等于（　　）

A．3B．4C．5D．6

答案　

（1）C　

（2）A

解析　

（1）由平面向量的三角形法则，得＝＋.

又因为点D是BC边上靠近B的三等分点，

所以＝＋＝＋（－）

＝＋.

（2）－4＋3＝0⇒－－3（－）＝0⇒＝3，所以＝3.

方程思想在平面向量的线性运算中的应用

典例：

（12分）如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.

思维点拨　

（1）用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．

（2）既然能用a、b表示，那我们不妨设出＝ma＋nb.

（3）利用向量共线建立方程，用方程的思想求解．

规范解答

解　设＝ma＋nb，

则＝－＝ma＋nb－a＝（m－1）a＋nb.

＝－＝－＝－a＋b.[3分]

又∵A、M、D三点共线，∴与共线．

∴存在实数t，使得＝t，

即（m－1）a＋nb＝t.[5分]

∴（m－1）a＋nb＝－ta＋tb.

∴消去t得，m－1＝－2n，

即m＋2n＝1.①　[7分]

又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，

＝－＝b－a＝－a＋b.

又∵C、M、B三点共线，

∴与共线．[10分]

∴存在实数t1，使得＝t1，

∴a＋nb＝t1，

∴

消去t1得，4m＋n＝1.②

由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.[12分]

温馨提醒　

（1）本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．

（2）易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．（3）数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征．（4）方程思想是解决本题的关键，要注意体会．

方法与技巧

1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；

向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；

平行四边形法则要素是“起点重合”．

2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

3．对于三点共线有以下结论：

对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y（x，y∈R），则P，A，B共线⇔x＋y＝1.

失误与防范

1．解决向量的概念问题要注意两点：

一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；

二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．

2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．

A组　专项基础训练

（时间：

45分钟）

1．下列说法正确的个数是（　　）

①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；

②零向量没有方向；

③向量的模一定是正数；

④非零向量的单位向量是唯一的．

解析　①错误，只有速度和位移是向量；

②错误，零向量是有方向的，它的方向是任意的；

③错误，|0|＝0；

④显然错误．

2．已知向量a＝（2,4），b＝（－1,1），则2a－b等于（　　）

A．（5,7）B．（5,9）

C．（3,7）