高中数学第二单元圆锥曲线与方程221双曲线及其标准方程教学案新人教B版选修1Word格式文档下载.docx

高中数学第二单元圆锥曲线与方程221双曲线及其标准方程教学案新人教B版选修1Word格式文档下载.docx

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焦距

|F1F2|＝2c，c2＝a2＋b2

类型一　求双曲线的标准方程

例1　求下列双曲线的标准方程．

（1）与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点（－2，）；

（2）焦距为26，且经过点M（0,12）；

（3）过点P（3，），Q（－，5），且焦点在坐标轴上．

反思与感悟　待定系数法求方程的步骤

（1）定型：

即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．

（2）设方程：

根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，

①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1（AB<

0）．

②与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1（－b2＜k＜a2）．

（3）计算：

利用题中条件列出方程组，求出相关值．

（4）结论：

写出双曲线的标准方程．

跟踪训练1　根据条件求双曲线的标准方程．

（1）c＝，经过点A（－5,2），焦点在x轴上；

（2）经过点P（4，－2）和点Q（2，2）；

（3）已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点（，4）．　

类型二　双曲线的定义及应用

命题角度1　双曲线的焦点三角形

例2　

（1）如图，已知双曲线的方程为－＝1（a>

0），点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．

引申探究

本例

（2）中若∠F1PF2＝90°

，其他条件不变，求△F1PF2的面积．

（2）已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°

，则△F1PF2的面积为________．

反思与感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法

（1）方法一：

①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；

②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；

③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·

|PF2|的值；

④利用公式S△PF1F2＝×

|PF1|·

|PF2|sin∠F1PF2求得面积．

（2）方法二：

利用公式S△PF1F2＝×

|F1F2|×

|yP|（yP为P点的纵坐标）求得面积．

特别提醒：

利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·

|PF2|间的关系．

跟踪训练2　已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小（O为坐标原点）．　

命题角度2　与双曲线有关的轨迹问题

例3　已知圆C1：

（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：

（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．

反思与感悟　定义法求双曲线方程的注意点

（1）注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．

（2）当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．

（3）求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．

跟踪训练3　在△ABC中，已知A（－2，0），B（2，0），且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，求顶点C的轨迹方程．

1．到两定点F1（－3,0），F2（3,0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是（　　）

A．椭圆B．线段

C．双曲线D．两条射线

2．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（　　）

A．4B．8

C．24D．48

3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是（　　）

A.B．1或－2

C．1或D．1

4．若k∈R，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是（　　）

A．－3<

k<

－2B．k<

－3

C．k<

－3或k>

－2D．k>

－2

5．求适合下列条件的双曲线的标准方程．

（1）a＝3，c＝4，焦点在x轴上；

（2）焦点为（0，－6），（0,6），经过点A（－5,6）；

（3）以椭圆＋＝1长轴的顶点为焦点，且过（3，）．

1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a（2a<

|F1F2|）不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．

2．在双曲线的标准方程中，a>

b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.

3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．

如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1（mn<

0）的形式求解．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　||MF1|－|MF2||＝常数（常数|F1F|或|F2F|）且常数<

|F1F2|.

思考2　以F2为端点的一条射线．

梳理　差的绝对值　双曲线的焦点

两焦点间的距离

知识点二

思考1　双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴．当x2的系数为正时，焦点在x轴上；

当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．

思考2　以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B.

题型探究

例1　解　

（1）方法一　椭圆＋＝1的焦点为F1（0，－3），F2（0,3）．

设双曲线的方程为－＝1（a>

0），

则有

解得

故所求双曲线的方程为－＝1.

方法二　由椭圆方程＋＝1知焦点在y轴上，

设所求双曲线方程为－＝1（16<

λ<

25）．

因为双曲线过点（－2，），所以－＝1，

解得λ＝20或λ＝7（舍去），

（2）∵双曲线经过点M（0,12），

∴M（0,12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.

又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.

∴双曲线的标准方程为－＝1.

（3）设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn<

因为点P（3，），Q（－，5）在双曲线上，

所以解得

故所求双曲线方程为－＝1.

跟踪训练1　解　

（1）设双曲线标准方程为－＝1（a>

∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2.

由题意知－＝1，∴－＝1，

解得a2＝5或a2＝30（舍）．

∴b2＝1.∴双曲线的标准方程为－y2＝1.

（2）设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn<

∵点P（4，－2）和点Q（2，2）在双曲线上，

∴解得

∴双曲线的方程为－＝1.

（3）椭圆＋＝1的焦点坐标为F1（0，－3），F2（0,3），

故可设双曲线的方程为－＝1.

由题意，知

故双曲线的方程为－＝1.

例2　

（1）4a＋2m　

（2）16

解析　

（1）由双曲线的定义，

知|AF1|－|AF2|＝2a，

|BF1|－|BF2|＝2a.

又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，

所以△ABF1的周长为

|AF1|＋|BF1|＋|AB|

＝4a＋2|AB|＝4a＋2m.

（2）由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.

由双曲线定义和余弦定理，

得|PF1|－|PF2|＝±

6，

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·

|PF2|cos60°

，

所以102＝（|PF1|－|PF2|）2＋|PF1|·

|PF2|，

所以|PF1|·

|PF2|＝64，

∴S△F1PF2＝|PF1|·

|PF2|·

sin∠F1PF2

＝×

64×

＝16.

解　由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5，

由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，

所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·

|PF2|＝36.①

在Rt△F1PF2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝（2c）2＝100.②

将②代入①得|PF1|·

|PF2|＝32，

所以S△F1PF2＝|PF1|·

|PF2|＝16.

跟踪训练2　解　设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2，ON是三角形PF1F2的中位线，

所以|ON|＝|PF2|，

因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，

所以|PF2|＝2或18，|ON|

＝|PF2|＝1或9.

例3　x2－＝1（x≤－1）

解析　如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|,因为|MA|＝|MB|，

所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，

即|MC2|－|MC1|＝2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且2<

6＝|C1C2|.

根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大，与C1的距离小），这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为（x，y），其轨迹方程为x2－＝1（x≤－1）．

跟踪训练3　解　由正弦定理，得sinA＝，sinB＝，sinC＝（R为△ABC的外接圆半径）．

因为2sinA＋sinC＝2sinB，

所以2a＋c＝2b，即b－a＝，

从而有|CA|－|CB|＝|AB|

＝2<

|AB|.

由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）．

因为a＝，c＝2，

所以b2＝c2－a2＝6，

即所求轨迹方程为－＝1（x>

）．

当堂训练

1．D　2.C　3.D　4.A

5．解　

（1）由题设知，a＝3，c＝4，

由c2＝a2＋b2，

得b2＝c2－a2＝42－32＝7.

因为双曲线的焦点在x轴上，

所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

（2）由已知得c＝6，且焦点在y轴上，

因为点A（－5,6）在双曲线上，

所以2a＝|－|

＝|13－5|＝8，

则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.

（3）由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.

设双曲线的标准方程为－＝1（a>

则有a2＋b2＝c2＝8.因为过（3，）点，

所以－＝1，

解得a2＝3，b2＝5.

故所求双曲线的标准方程为－＝1.