高考导数题型归纳.docx

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高考导数题型归纳

高考压轴题：

导数题型及解题方法

（自己总结供参考）

一．切线问题

题型1求曲线在处的切线方程。

方法：

为在处的切线的斜率。

题型2过点的直线与曲线的相切问题。

方法：

设曲线的切点，由求出，进而解决相关问题。

注意：

曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

例已知函数f（x）=x3﹣3x．

（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（答案：

）

（2）若过点A可作曲线的三条切线，求实数的取值范围、

（提示：

设曲线上的切点（）；建立的等式关系。

将问题转化为关于的方程有三个不同实数根问题。

（答案：

的范围是）

练习1.已知曲线

（1）求过点（1，-3）与曲线相切的直线方程。

答案：

（或）

（2）证明：

过点（-2,5）与曲线相切的直线有三条。

2.若直线与曲线相切，求的值.（答案：

1）

题型3求两个曲线、的公切线。

方法：

设曲线、的切点分别为（）。

（）；

建立的等式关系，，；求出，进而求出切线方程。

解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例求曲线与曲线的公切线方程。

（答案）

练习1.求曲线与曲线的公切线方程。

（答案或）

2．设函数，直线与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于（1,0），求实数的值。

（答案或）

二．单调性问题

题型1求函数的单调区间。

求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。

分类的方法有：

（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；

（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；（3）在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；（4）在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。

注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

例已知函数

（1）求函数的单调区间。

（利用极值点的大小关系分类）

（2）若，求函数的单调区间。

（利用极值点与区间的关系分类）

练习已知函数，若,求函数的单调区间。

（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）

题型2已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。

方法1：

研究导函数讨论。

方法2：

转化为在给定区间上恒成立问题，

方法3：

利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。

注意：

“函数在上是减函数”与“函数的单调减区间是”的区别是前者是后者的子集。

例已知函数+在上是单调函数，求实数的取值范围．

（答案）

练习已知函数，且在区间上为增函数．求实数的取值范围。

（答案：

）

题型3已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。

方法1：

正难则反，研究在某区间的不单调

方法2:

研究导函数是零点问题，再检验。

方法3:

直接研究不单调，分情况讨论。

例设函数，在区间内不单调，求实数的取值范围。

（答案：

））

三．极值、最值问题。

题型1求函数极值、最值。

基本思路：

定义域→疑似极值点→单调区间→极值→最值。

例已知函数，求在的极小值。

（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）

练习已知函数的图象过点，且函数的图象关于y轴对称.若，求函数在区间内的极值.

（答案：

当时，有极大值，无极小值；当时，有极小值，无极大值；当或时，无极值.）

题型2已知函数极值，求系数值或范围。

方法：

1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。

方法2.转化为函数单调性问题。

例函数。

0是函数的极值点。

求实数值。

（答案：

1）

练习已知函数若函数存在极值，且所有极值之和大

，求a的取值范围。

（答案：

）

题型3已知最值，求系数值或范围。

方法：

1.求直接求最值；2.转化恒成立，求出范围，再检验。

例设，函数．若函数，在处取得最大值，求的取值范围．（答案：

）

练习已知函数，当时，函数在区间上的最小值是，求实数的取值范围。

（答案：

）

四．不等式恒成立（或存在性）问题。

一些方法

1.若函数，＞恒成立，，则

2.对任意，恒成立。

则。

3.对，成立。

则。

4.对，恒成立。

转化恒成立

4.对，成立。

则。

5.对，成立。

则

6.对，成立。

则构造函数。

转化证明在是增函数。

题型1已知不等式恒成立，求系数范围。

方法：

（1）分离法：

求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。

（2）讨论法:

有的需构造函数。

关键确定讨论标准。

分类的方法：

在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。

分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

（3）数形结合：

（4）变更主元

解题思路1.代特值缩小范围。

2.化简不等式。

3.选方法（用讨论法时，或构造新函数）。

方法一：

分离法。

求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。

例函数。

在恒成立，求实数取值范围。

（方法：

分离法，多次求导答案：

）

练习设函数，若当≥0时≥0，求a的取值范围。

（方法：

分离法，用罗比达法则答案：

）

方法二：

讨论法。

有的需构造函数。

关键确定讨论标准。

分类的方法：

在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。

分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

例设函数f（x）=.若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.

（答案：

的取值范围为）

练习1.设函数，时，，求实数的取值范围

（答案：

）

2.函数，当对＞0，，求实数取值范围。

（多种方法求解。

（答案：

）

）

方法三：

变更主元

例：

设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，，若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.（答案：

）

练习设函数。

证明：

当＞3时，对任意，成立。

（提示化为），研究的单调性。

）

五．函数零点问题

题型1：

判断函数零点的个数。

方法：

方程法；函数图象法；转化法；存在性定理

例.设．若函数有零点，求的取值范围．

（提示：

当时，，，所以成立，答案）

练习.求过点（1,0）作函数图象的切线的个数。

（答案：

两条）

题型2：

已知函数零点，求系数。

方法：

图象法（研究函数图象与x轴交点的个数）；方程法；转化法（由函数转化方程，再转化函数，研究函数的单调性。

）

例.函数在（1,3）有极值，求实数的取值范围。

（答案）

练习：

1.证明：

函数的图象与函数的图象无公共点。

六．不等式证明问题

方法1：

构造函数，研究单调性，最值，得出不等关系，有的涉及不等式放缩。

方法2：

讨论法。

方法2.研究两个函数的最值。

如证，需证的最小值大于的最大值即可。

方法一：

讨论法

例：

已知函数，曲线在点处的切线方程为。

证明：

当，且时，。

练习：

.已知函数.当时，.试讨论与的大小关系。

方法二：

构造函数

例：

已知函数与函数为常数，

（1）若图象上一点处的切线方程为：

，设是函数的图象上两点，，证明：

练习：

1.设函数。

证明：

当＞3时，对任意，成立。

方法三：

构造函数，不等式放缩

例.已知函数

（I）；若m=0，A（a,f（a））、B（b，f（b））是函数f（x）图象上不同的两点.且a>b>0,为f（x）的导函数，求证：

（II）求证：